Nombre dérivé et tangente

38

[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x^{2}. 1. Soit h un réel non nul.
Exprimer f(1+h)-f(1) en fonction de h .

2. Montrer que f est dérivable en 1 et donner la valeur du nombre dérivé de f en 1.

3. Vérifier le résultat à la calculatrice.

39

[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=-x^{2}+x. 1. Soit h un réel non nul. Exprimer f(2+h)-f(2) en fonction de h .

2. Montrer que f est dérivable en 2 et donner la valeur du nombre dérivé de f en 2.

3. Vérifier le résultat à la calculatrice.

40

[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x^{3}. 1. Vérifier que pour tous réels a et b\::
(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}.

2. Soit h un réel non nul.
Exprimer le quotient \dfrac{(2+h)^{3}-2^{3}}{h} en fonction de h .

3. En déduire que f est dérivable en 2 et calculer f^{\prime}(2).

4. Vérifier le résultat à la calculatrice.

41

[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^{*} par f(x)=\dfrac{1}{x}. 1. a. Soit h un réel non nul.
Vérifier que f(1+h)-f(1)=-\dfrac{h}{1+h}.

b. Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f^{\prime}(1).

2. Montrer que f est dérivable en 2 et calculer f^{\prime}(2).

3. Vérifier les résultats à la calculatrice.

42

[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=5 x-3.

Démontrer que f est dérivable en -1 et calculer f^{\prime}(-1).

43

[Calculer.]

Soit f la fonction définie sur ]-\infty\: ; 2[\cup] 2 \:;+\infty[ par f(x)=\dfrac{x+1}{2-x}.
Démontrer que f est dérivable en 3 et calculer f^{\prime}(3).

44

[Chercher.]
Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-2\: ; 4] dont on donne la représentation graphique \mathcal{C}_{f} dans un repère (\text{O} ; \vec{i} ,\vec{j}). Les droites \text{T}_\text{A} et \text{T}_\text{B} sont les tangentes respectives en \text{A} et en \text{B} à \mathcal{C}_{f}.

1. Par lecture graphique, déterminer la valeur du nombre dérivé de f en 0 .

2. Déterminer f^{\prime}(3) graphiquement.

45

[Chercher.]
On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-6\: ; 1]. Soit \mathcal{C}_{f} sa représentation graphique dans un repère (\text{O} ; \vec{i} ,\vec{j}). On a également tracé trois tangentes d_{1}, d_{2} et d_{3} à \mathcal{C}_{f} respectivement en \text{A} d'abscisse \dfrac{-5}{2}, en \text{B} d'abscisse –4 et en \text{O.} On admet que d_{1} est parallèle à l'axe des abscisses.


Déterminer graphiquement les nombres dérivés de f en x_{1}=-4, en x_{2}=\dfrac{-5}{2} et en x_{3}=0.

47

[Chercher.]

On donne \mathrm{I}=[-1 \:; 4] et a=2.
Déterminer graphiquement f^{\prime}(a).

Aide

Graphiquement, f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de \text{T.}

48

[Chercher.]

On donne \mathrm{I}=[-3\: ; 1] et a=-1. Sachant que \text{T} passe par \text{A} et par le point \text{B}(2\: ;-1), calculer f^{\prime}(a) .

Aide

Le coefficient directeur de la droite (\mathrm{AB}) peut se calculer à partir des coordonnées de \text{A} et \text{B} .

49

[Chercher.]

On donne I=[-3\: ; 3] et a=1. Sachant que \text{T} passe par le point \text{A}\left(1\: ;\dfrac{-3}{2}\right) et par le point \mathrm{B}\left(-1\: ; \dfrac{5}{2}\right), calculer f^{\prime}(a).

50

[Chercher.]

On donne \mathrm{I}=\left[-2\: ; \dfrac{1}{2}\right] et a=0. Sachant que \text{T} passe par \text{A} et par le point \mathrm{B}\left(\dfrac{1}{2}\: ; 2\right), calculer f^{\prime}(a).

54

Démo

[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur ] 0\: ;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{x}.
Soient deux réels a>0 et h \neq 0 tels que a+h>0. 1. Déterminer f(a+h)-f(a) en fonction de h .

2. En déduire l'expression du taux de variation \tau(h) de f en a .

3. Que peut-on dire de \tau(h) lorsque h devient de plus en plus proche de 0 ?

4. Justifier alors que f est dérivable sur ] 0\: ;+\infty[ et exprimer f^{\prime}(a).

5. Justifier alors que f est dérivable sur ]-\infty \: ; 0[ et exprimer f^{\prime}(a) lorsque a est un réel strictement négatif.

55

Démo

[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur [0\: ;+\infty[ par f(x)=\sqrt{x}. 1. Soit h un réel non nul. À l'aide d'une identité remarquable, développer et simplifier l'expression (\sqrt{2+h}-\sqrt{2})(\sqrt{2+h}+\sqrt{2}).

1, exprimer le taux de variation de f en 2 en fonction de h .

3. En déduire que f est dérivable en 2 et donner la valeur de f^{\prime}(2).

4. De manière analogue, démontrer que f est dérivable en tout réel a strictement positif et exprimer f^{\prime}(a) en fonction de a avec a+h>0.

5. Justifier que f n'est pas dérivable en 0 .