Mathématiques 1re Spécialité
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Chapitre 4
Cours 2
Équation de tangente
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Propriété
Soit f une fonction dérivable en a .
L'équation réduite de la tangente \mathrm{T}_{\mathrm{A}} à la courbe de f au point d'abscisse a est :
y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).
L'équation réduite de la tangente \mathrm{T}_{\mathrm{A}} à la courbe de f au point d'abscisse a est :
y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).
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Le nombre dérivé de f en a est unique donc la tangente à sa courbe en \text{A} est également unique.
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Démonstration
La tangente \mathrm{T}_{\mathrm{A}} au point \text{A} d'abscisse a de \mathcal{C}_f a pour équation y=f^{\prime}(a) x+p car, par définition, f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de cette droite.
Il faut maintenant déterminer p . Comme le point \mathrm{A}(a\: ; f(a)) appartient à \mathrm{T}_{\mathrm{A}}, ses coordonnées vérifient l'équation réduite de \mathrm{T}_{\mathrm{A}}.
On a donc f(a)=f^{\prime}(a) \times a+p, , soit p=f(a)-f^{\prime}(a) \times a.
En remplaçant cette valeur dans l'équation réduite de \mathrm{T}_{\mathrm{A}} et en factorisant par f^{\prime}(a), on obtient bien y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).
Il faut maintenant déterminer p . Comme le point \mathrm{A}(a\: ; f(a)) appartient à \mathrm{T}_{\mathrm{A}}, ses coordonnées vérifient l'équation réduite de \mathrm{T}_{\mathrm{A}}.
On a donc f(a)=f^{\prime}(a) \times a+p, , soit p=f(a)-f^{\prime}(a) \times a.
En remplaçant cette valeur dans l'équation réduite de \mathrm{T}_{\mathrm{A}} et en factorisant par f^{\prime}(a), on obtient bien y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).
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Exemple
Soit f une fonction telle que f(1)=2 et f^{\prime}(1)=\dfrac{1}{3}.
La tangente \text{T} à la courbe de f au point d'abscisse 1 a donc pour équation réduite y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1). C'est-à-dire y=\dfrac{1}{3}(x-1)+2 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3} x-\dfrac{1}{3}+2 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3} x+\dfrac{5}{3}.
On peut également écrire le résultat sous la forme d'une équation cartésienne :
x-3 y+5=0
La tangente \text{T} à la courbe de f au point d'abscisse 1 a donc pour équation réduite y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1). C'est-à-dire y=\dfrac{1}{3}(x-1)+2 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3} x-\dfrac{1}{3}+2 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3} x+\dfrac{5}{3}.
On peut également écrire le résultat sous la forme d'une équation cartésienne :
x-3 y+5=0
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La forme générale d'une équation cartésienne d'une droite est ax + by + c = 0 .
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Application et méthode
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Énoncé
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x^{3}-x^{2}+x-1.
En remarquant que, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-1)\left(x^{2}+1\right):
1. déterminer la tangente \text{T} à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1\:;
2. en déduire les coordonnées du point d'intersection de \text{T} avec l'axe des ordonnées.
1. déterminer la tangente \text{T} à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1\:;
2. en déduire les coordonnées du point d'intersection de \text{T} avec l'axe des ordonnées.
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Solution
1. On commence par calculer f^{\prime}(1).
Soit h \neq 0.
D'une part, f(1+h)=(1+h-1)\left((1+h)^{2}+1\right)=h\left(1+2 h+h^{2}+1\right)=h\left(h^{2}+2 h+2\right)
et, d'autre part, f(1)=0.
Donc : \tau(h)=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{h\left(h^{2}+2 h+2\right)}{h}=h^{2}+2 h+2.
Quand h se rapproche de 0, \tau(h) se rapproche de 2 donc f est dérivable en 1 et f^{\prime}(1)=2.
\text{T} a pour équation : y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1) \Leftrightarrow y=2(x-1), soit : y=2 x-2.
2. Si x = 0 , alors y=2 \times 0-2=-2.
\text{T} coupe l'axe des ordonnées au point \text{B} de coordonnées (0\:;-2).
Soit h \neq 0.
D'une part, f(1+h)=(1+h-1)\left((1+h)^{2}+1\right)=h\left(1+2 h+h^{2}+1\right)=h\left(h^{2}+2 h+2\right)
et, d'autre part, f(1)=0.
Donc : \tau(h)=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{h\left(h^{2}+2 h+2\right)}{h}=h^{2}+2 h+2.
Quand h se rapproche de 0, \tau(h) se rapproche de 2 donc f est dérivable en 1 et f^{\prime}(1)=2.
\text{T} a pour équation : y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1) \Leftrightarrow y=2(x-1), soit : y=2 x-2.
2. Si x = 0 , alors y=2 \times 0-2=-2.
\text{T} coupe l'axe des ordonnées au point \text{B} de coordonnées (0\:;-2).
Pour s'entraîner
exercices p. 119 et p. 123
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- On calcule f(1).
- On détermine f^{\prime}(1) avec le taux de variation.
- On utilise l'équation réduite de la tangente y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a) avec a=1.
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