Chapitre 4
Synthèse
Exercices de Synthèse - Objectif BAC
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96
Démo
[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=k où k est un réel.
Soit g la fonction définie sur \R par g(x)=m x+p où m et p sont des réels. 1. Démontrer que f est dérivable sur \R et que sa fonction dérivée f' est la fonction constante égale à 0 .
2. Démontrer que g est dérivable sur \R et que sa fonction dérivée g' est la fonction constante égale à m.
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98
Démo
[Raisonner.]
Soient deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle \text{I} de \R et k un réel.
On considère les fonctions f et g définies sur \text{I} par :
f(x)=u(x) \times v(x) \text { et } g(x)=k \times u(x). 1. À l'aide du taux de variation, démontrer que la fonction f est dérivable sur \text{I} de dérivée f' définie par f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times v(x)+u(x) \times v^{\prime}(x).
2. En déduire que la fonction g est dérivable sur \text{I} de dérivée g' définie par g^{\prime}(x)=k \times u^{\prime}(x).
3. a. En utilisant le résultat démontré à la question 1., déterminer la dérivée des fonctions u^{2} et u^{3}.
b. Conjecturer ce que pourrait être la dérivée de la fonction u^{n} où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On ne demande pas de le démontrer.
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97
Démo
[Raisonner.]
Soient deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle \text{I} de \R . On considère la fonction f définie sur \text{I} par f(x)=u(x)+v(x).
À l'aide du taux de variation, démontrer que la fonction f est dérivable sur \text{I} de dérivée f^{\prime}(x) définie par f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x).
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99
Démo
[Raisonner.]
Soient deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle \text{I} de \R telles que la fonction v ne s'annule pas sur \text{I}.
On considère les fonctions f et g définies sur \text{I} par f(x)=\dfrac{1}{v(x)} et g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}. 1. À l'aide d'un taux de variation, démontrer que la fonction f est dérivable sur \text{I} de dérivée f' définie par f^{\prime}(x)=\dfrac{-v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}
2. En utilisant la dérivée d'un produit et la question 1., démontrer que la fonction g est dérivable sur \text{I} de dérivée g' définie par g^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x) \times v(x)-u(x) \times v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}.
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100
[Chercher.] On se propose de démontrer que deux fonctions u et u + k , où k est une constante réelle, ont la même dérivée.
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} de \R. On note v la fonction définie sur \text{I} par v(x)=u(x)+k où k est un réel fixé. 1. Démontrer que v est dérivable sur \text{I} et que, pour tout x \in \mathrm{I}, v^{\prime}(x)=u^{\prime}(x).
2. La dérivée d'une fonction f définie et dérivable sur \R est la fonction g définie sur \R par g(x)=3 x^{2}+x-1. En utilisant le résultat démontré à la question 1., déterminer l'expression de f(x) sachant que f(1)=-1.
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101
[Chercher.]
Problème ouvert : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur \R. On appelle \mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) du plan. On sait que \mathcal{C}_f passe par le point \text{A} d'abscisse 1 de l'axe des abscisses et par le point \text{B} d'ordonnée 3 de l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1 est égal à -5 .
Déterminer la forme développée de f(x) pour x \in \mathbb{R}.
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102
[Chercher.]
On considère le triangle \text{ABC} dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}). Le point \text{C} a pour coordonnées \left(\dfrac{5}{2}\: ;-4\right). Le but de l'exercice est de déterminer s'il existe une fonction polynôme du troisième degré dont la courbe passe par les points \text{A} et \text{B} et dont les tangentes en \text{A} et en \text{B} sont respectivement les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{BC}).
1. Soit f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d où a , b , c et d sont quatre réels avec a \neq 0.
a. Exprimer en fonction de a , b , c et d les images f(1) et f(3).
b. À l'aide du graphique, en déduire deux équations d'inconnues a , b , c et d.
2. a. Déterminer la fonction dérivée de f et exprimer f^{\prime}(1) et f^{\prime}(3) en fonction de a , b et c .
b. À l'aide du graphique, en déduire deux nouvelles équations d'inconnues a , b , c et d.
3. Résoudre à la calculatrice le système de quatre équations à quatre inconnues obtenu aux questions précédentes.
4. Conclure.
a. Exprimer en fonction de a , b , c et d les images f(1) et f(3).
b. À l'aide du graphique, en déduire deux équations d'inconnues a , b , c et d.
2. a. Déterminer la fonction dérivée de f et exprimer f^{\prime}(1) et f^{\prime}(3) en fonction de a , b et c .
b. À l'aide du graphique, en déduire deux nouvelles équations d'inconnues a , b , c et d.
3. Résoudre à la calculatrice le système de quatre équations à quatre inconnues obtenu aux questions précédentes.
4. Conclure.
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103
En économie
[Modéliser.]
Une entreprise fabrique des articles de luxe dont le coût mensuel de production pour une quantité de q dizaines d'objets s'exprime, en euro, par la fonction définie par \mathrm{C}(q)=15 q^{3}-120 q^{2}+350 q+1\:000 avec q>0.
Quand la quantité d'objets est très importante, on admet que le coût marginal est la dérivée \mathrm{C}^{\prime}(q). 1. Calculer le coût marginal \mathrm{C}_{m}(q)=\mathrm{C}(q+1)-\mathrm{C}(q).
2. Calculer \mathrm{C}^{\prime}(q).
3. On étudie l'erreur commise en assimilant le coût marginal \mathrm{C}_{m}(q) à la dérivée \mathrm{C}^{\prime}(q).
a. Calculer \mathrm{E}(q)=\mathrm{C}^{\prime}(q)-\mathrm{C}_{m}(q).
b. Déterminer le nombre minimal d'objets à fabriquer pour que l'erreur commise soit inférieure à 1 %.
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104
[Chercher.]
Problème ouvert : Une portion d'une piste pour quads est modélisée dans un repère orthogonal par la fonction f définie sur l'intervalle [-3\: ; 6] par f(x)=\dfrac{3}{100} x^{3}+\dfrac{3}{20} x^{2}.
Un jeune conducteur, téméraire et imprudent, est sorti de la piste et a continué sur sa lancée en suivant une trajectoire rectiligne définie par la tangente à la courbe de f .
Sachant qu'il a heurté un poteau, sans se blesser, situé au point de coordonnées (10\: ; 15), déterminer une valeur approchée à 10-2 des coordonnées du point où il a quitté la piste.
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Club de Maths
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Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x^{3}+2 x^{2}-x+4. \text{A} et \text{M} sont deux points de la courbe représentative \mathcal{C}_f de f d'abscisses respectives a et a + h , où h est un réel non nul.
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105
Python
On donne la première ligne d'un programme écrit avec Python.
1. Que contient la variable \bf{liste} ?
2. Écrire une fonction Python notée f avec x en argument qui retourne l'image f(x).
2. Écrire une fonction Python notée f avec x en argument qui retourne l'image f(x).
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3. Compléter la fonction suivante pour qu'elle retourne les coefficients directeurs des sécantes
(\mathrm{AM}) pour h dans \bf{liste\_h}.
liste = [10**i for i in range(0, -6, -1)] def secante(a, liste_h): f_a = f(a) coefficients = [... for h in ...] return coefficients
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106
Python
Compléter la fonction suivante sous Python, qui retourne les coefficients des sécantes (\mathrm{AM}) à \mathcal{C}_f, en initialisant au préalable la liste des coefficients pour qu'elle soit de taille \bf{nb\_pas}.
def f(x)
return(...)
def secante_2(a, list_h):
nb_pas = len(liste_h)
f_a = f(a) #on évite de refaire le calcul
coefficients = #création tableau de la bonne taille
for idPas in range(nb_pas):
h = ...
coefficients[idPas] = ...
return coefficients
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107
Python
Compléter la fonction suivante sous Python, qui retourne les coefficients des sécantes (\mathrm{AM}) à \mathcal{C}_f, en utilisant la méthode \bf{append}.
def f(x)
return(...)
def secante_3(a, liste_h):
f_a = f(a)
coefficients = [] # on crée une liste vide
for h in range liste_h
...
...
return coefficients
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