Mathématiques 1re Spécialité
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Chapitre 4
Travailler ensemble
Évolution d'une population de bactéries
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
On étudie le nombre de bactéries dans une solution pendant deux heures. La fonction f , définie sur [0\: ; 2], associe au temps t exprimé en heure, le nombre de bactéries f(t) exprimé en million.
On admet que f(t)=-5 t^{3}+15 t^{2}+1.
Dans un repère, on a tracé la courbe représentative \mathcal{C}_f de f et ses tangentes respectives \text{T} et \text{T}' en \text{A} d'abscisse 1{,}5 et en \text{B} d'abscisse 2. \text{T} passe par les points \mathrm{J}(0\:; 1) et \mathrm{K}(3\:; 34{,}75).
On admet que \text{T}' est parallèle à l'axe des abscisses.
Question préliminaire :
1. Comment semble évoluer le nombre de bactéries ?
2. Déterminer, à l'aide de coordonnées, f^{\prime}(1{,}5) et f^{\prime}(2).
On admet que f(t)=-5 t^{3}+15 t^{2}+1.
Dans un repère, on a tracé la courbe représentative \mathcal{C}_f de f et ses tangentes respectives \text{T} et \text{T}' en \text{A} d'abscisse 1{,}5 et en \text{B} d'abscisse 2. \text{T} passe par les points \mathrm{J}(0\:; 1) et \mathrm{K}(3\:; 34{,}75).
On admet que \text{T}' est parallèle à l'axe des abscisses.
Question préliminaire :
1. Comment semble évoluer le nombre de bactéries ?
2. Déterminer, à l'aide de coordonnées, f^{\prime}(1{,}5) et f^{\prime}(2).
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Si les équations du second degré n'ont pas encore été travaillées, on pourra résoudre graphiquement certaines équations à l'aide de la calculatrice.
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Partie 1
La vitesse d'augmentation du nombre de bactéries à l'instant t se calcule par f^{\prime}(t).
1. Déterminer l'ensemble de dérivabilité de f et calculer f^{\prime}(t).
2. Vérifier les résultats trouvés à la question préliminaire 2.
3. La vitesse d'accroissement du nombre de bactéries est-elle constante ? Expliquer.
2. Vérifier les résultats trouvés à la question préliminaire 2.
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Partie 2
On s'intéresse à certaines tangentes à la courbe \mathcal{C}_f.
On admet que \text{T} a pour équation y=11{,}25 t+1.
1. Existe-t-il un point de \mathcal{C}_f autre que \text{A} pour lequel la tangente est parallèle à \text{T ?} Si oui, préciser ses coordonnées.
2. Comment ce résultat peut-il être interprété par rapport à l'évolution du nombre de bactéries ?
2. Comment ce résultat peut-il être interprété par rapport à l'évolution du nombre de bactéries ?
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Partie 3
On étudie la position de \mathcal{C}_f par rapport à une de ses tangentes.
1. Déterminer une équation de la tangente \Delta à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1.
2. Conjecturer, à la calculatrice, la position de \mathcal{C}_f par rapport à \Delta .
2. Conjecturer, à la calculatrice, la position de \mathcal{C}_f par rapport à \Delta .
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Partie 4
1. Résoudre l'équation g(t)=0
2. a. Rappeler le tableau de signes de la fonction cube sur \R .
2. a. Rappeler le tableau de signes de la fonction cube sur \R .
b. En déduire que, lorsque t \lt 1, alors g(t)>0.
3. Résoudre sur \R l'inéquation g(t)\lt0.
3. Résoudre sur \R l'inéquation g(t)\lt0.
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Mise en commun
1. Montrer que, pour tout t \in[0\: ; 2], f(t)-(15 t-4)=-5(t-1)^{3}.
2. À l'aide de la partie 4, vérifier la conjecture émise à la question 2. de la partie 3.
2. À l'aide de la partie 4, vérifier la conjecture émise à la question 2. de la partie 3.
3. Quelle interprétation peut-on en faire en utilisant les parties 1 et 2 ?
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