Mathématiques 1re Spécialité
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Chapitre 4
Cours 3
Fonctions dérivées
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Définition
On dit que f est dérivable sur un intervalle \text{I} lorsque f est dérivable en tout réel a de \text{I.} On appelle fonction dérivée de f la fonction qui, à tout réel x de \text{I}, associe le réel f'(x). On la note f'.
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AFonctions dérivées des fonctions usuelles
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Propriété
| Fonction f définie par : | Ensemble de définition \mathrm{D}_{{f}} | Fonction dérivée f' définie par : | Ensemble de dérivabilité \mathrm{D}_{{f'}} | |
| 1. | f(x)=k, avec k \in \mathbb{R} | \R | f^{\prime}(x)=0 | \R |
| 2. | f(x)=m x+p, avec m et p réels | \R | f^{\prime}(x)=m | \R |
| 3. | f(x)=x^{2} | \R | f^{\prime}(x)=2 x | \R |
| 4. | f(x)=x^{n}, avec n \in \mathbb{N}^{*}. | \R | f^{\prime}(x)=n x^{n-1} | \R |
| 5. | f(x)=\dfrac{1}{x} | \mathbb{R} \backslash\{0\} | f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{x^{2}} | \mathbb{R} \backslash\{0\} |
| 6. | f(x)=\dfrac{1}{x^{n}} avec n \in \mathbb{N}^{*} | \mathbb{R} \backslash\{0\} | f^{\prime}(x)=\dfrac{-n}{x^{n+1}} | \mathbb{R} \backslash\{0\} |
| 7. | f(x)=\sqrt{x} | [0\: ;+\infty[ | f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} | ] 0\: ;+\infty[ |
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Si y=f(x) alors f^{\prime}(x)=\dfrac{d y}{d x} ;
si x=f(t) alors f^{\prime}(t)=\dfrac{d x}{d t};
si q=f(t) alors f^{\prime}(t)=\dfrac{d q}{d t} etc.
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Ce tableau contient les fonctions dérivées associées aux fonctions de référence. Il est important de connaître ce tableau par coeur ou de s'y référer aussi souvent que nécessaire.
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La
propriété 3. est un cas particulier de la propriété 4.
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Démonstration
On ne démontre ici que la propriété 4. dans les cas n = 2 (propriété 3.) et n = 3 .
Soient a \in \mathbb{R} et h \in \mathbb{R}^*.
Soient a \in \mathbb{R} et h \in \mathbb{R}^*.
- Cas n=2\:: f(x)=x^{2}.
f(a+h)-f(a)=(a+h)^{2}-a^{2}=a^{2}+2 a h+h^{2}-a^{2}=h(2 a+h).
Donc \tau(h)=2 a+h qui est proche de 2a quand h est proche de 0. Ainsi, pour tout réel x, f est dérivable en x et f^{\prime}(x)=2 x. - Cas n=3 : f(x)=x^{3}.
En développant, on obtient f(a+h)-f(a)=h\left(3 a^{2}+3 a h+h^{2}\right) donc \tau(h)=3 a^{2}+3 a h+h^{2} qui est proche de 3 a^{2} quand h est proche de 0.
Ainsi, pour tout réel x, f est dérivable en x et f^{\prime}(x)=3 x^{2}.
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On pourra s'appuyer sur pour démontrer la propriété 5. et pour la propriété 7.
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Exemple
La fonction g est définie sur \R^* par g(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
g est dérivable sur ]-\infty \: ; 0[ et sur ] 0\: ;+\infty[ et pour tout x \neq 0, g^{\prime}(x)=\dfrac{-2}{x^{2+1}}=\dfrac{-2}{x^{3}}.
g est dérivable sur ]-\infty \: ; 0[ et sur ] 0\: ;+\infty[ et pour tout x \neq 0, g^{\prime}(x)=\dfrac{-2}{x^{2+1}}=\dfrac{-2}{x^{3}}.
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BOpérations sur les fonctions dérivées
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u , v et g sont des fonctions définies et dérivables sur un intervalle \text{I.} k , a et b sont des réels.
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Propriété
| Type d'opération | Fonction à dériver | Fonction d érivée | |
| 1. | Dérivée d'une somme | u+v | (u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime} |
| 2. | Dérivée d'un produit par une constante | k \times u | (k \times u)^{\prime}=k \times u^{\prime} |
| 3. | Dérivée d'un produit | u \times v | (u \times v)^{\prime}=u^{\prime} \times v+u \times v^{\prime} |
| 4. | Dérivée d'un inverse | \dfrac{1}{v} avec v(x) \neq 0 pour tout x \in \text{I}. | \left(\dfrac{1}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{-v^{\prime}}{v^{2}} |
| 5. | Dérivée d'un quotient | \dfrac{u}{v} avec v(x) \neq 0 pour tout x \in \text{I}. | \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime} \times v-u \times v^{\prime}}{v^{2}} |
| 6. | Dérivée de f(x)=g(a x+b)\:: soit \text{J} l'intervalle tel que pour tout x \in \text{J}, a x+b \in \mathrm{I}. La fonction f est définie et dérivable sur \text{J} et f^{\prime}(x)=a \times g^{\prime}(a x+b). | ||
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(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime} signifie que pour tout x \in \text{I}, (u+v)^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x).
De même pour les autres notations.
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On déduit des propriétés 1. et 3. que les fonctions polynômes sont dérivables sur \R.
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On déduit de la propriété 5. que les fonctions rationnelles, c'est-à-dire les quotients de deux fonctions polynômes, sont dérivables sur tout intervalle de leur ensemble de définition.
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Démonstration
La propriété 6. est admise. Les autres sont démontrées dans
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Exemple
1. f est définie sur \R par f(x)=4 x^{3}-5 x^{2}+2 x-1.
En tant que fonction polynôme, f est dérivable sur \R et, pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=12 x^{2}-10 x+2.
2. g est définie sur \mathbb{R} \backslash\{-1\}, par g(x)=\dfrac{4+x^{2}}{x+1}.
g est dérivable sur ]-\infty\: ;-1[ et sur ]-1\: ;+\infty[ en tant que fonction rationnelle et, pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\{-1\}, g^{\prime}(x)=\dfrac{2 x(x+1)-\left(4+x^{2}\right) \times 1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}+2 x-4}{(x+1)^{2}}.
En tant que fonction polynôme, f est dérivable sur \R et, pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=12 x^{2}-10 x+2.
2. g est définie sur \mathbb{R} \backslash\{-1\}, par g(x)=\dfrac{4+x^{2}}{x+1}.
g est dérivable sur ]-\infty\: ;-1[ et sur ]-1\: ;+\infty[ en tant que fonction rationnelle et, pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\{-1\}, g^{\prime}(x)=\dfrac{2 x(x+1)-\left(4+x^{2}\right) \times 1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}+2 x-4}{(x+1)^{2}}.
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Application et méthode
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Énoncé
Soit f la fonction définie sur \text{I} par f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}.
1. Déterminer l'ensemble \text{I.}
2. Justifier que f est dérivable en précisant l'ensemble de dérivabilité et déterminer sa fonction dérivée.
1. Déterminer l'ensemble \text{I.}
2. Justifier que f est dérivable en précisant l'ensemble de dérivabilité et déterminer sa fonction dérivée.
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Solution
1. Le dénominateur s'annule pour x = -1 et le numérateur est défini pour tout x \geqslant 0, donc \mathrm{I}=[0\:;+\infty[.
2. La fonction racine carrée est définie sur [0\:;+\infty[ mais n'est dérivable que sur \mathrm{J}=] 0\: ;+\infty[. f est donc dérivable sur \text{J} comme quotient de fonctions définies et dérivables sur \text{J} dont le dénominateur ne s'annule pas.
Pour tout x > 0 , f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x} \times 1}{(x+1)^{2}}=\left(\dfrac{x+1-2 x}{2 \sqrt{x}}\right) \times \dfrac{1}{(x+1)^{2}}
d'où f^{\prime}(x)=\dfrac{1-x}{2 \sqrt{x}(x+1)^{2}}.
2. La fonction racine carrée est définie sur [0\:;+\infty[ mais n'est dérivable que sur \mathrm{J}=] 0\: ;+\infty[. f est donc dérivable sur \text{J} comme quotient de fonctions définies et dérivables sur \text{J} dont le dénominateur ne s'annule pas.
Pour tout x > 0 , f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x} \times 1}{(x+1)^{2}}=\left(\dfrac{x+1-2 x}{2 \sqrt{x}}\right) \times \dfrac{1}{(x+1)^{2}}
d'où f^{\prime}(x)=\dfrac{1-x}{2 \sqrt{x}(x+1)^{2}}.
Pour s'entraîner
exercices à p. 119
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- f s'écrit sous la forme \dfrac{u}{v} avec u(x)=\sqrt{x} et v(x)=x+1
- On utilise les connaissances sur les fonctions de référence pour déterminer l'ensemble de définition.
- En général, on applique le cours pour connaître l'ensemble de dérivabilité.
- On applique la formule \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
