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Automatismes
Ch. 1
Statistiques à une variable
Ch. 2
Fluctuations d'une fréquence et probabilités
Ch. 3
Résolution d'un problème du premier degré
Ch. 4
Représentation et variations d'une fonction
Ch. 5
Fonctions affines, fonction carré
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Ch. 7
Géométrie
Fiches méthodes
Chapitre 7
L'essentiel
Géométrie
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1Figures planes usuelles
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Une figure plane est une figure géométrique en deux dimensions dont tous les points sont situés dans un même plan.
Le périmètre \mathcal{P} d'une figure correspond à la longueur de son contour.
L'aire \mathcal{A} d'une figure correspond à sa surface.
\mathcal{P}=4 \times c
\mathcal{A}=c^2
#Exemple Le périmètre d'un carré de côté 3 m est \mathcal{P}=4 \times 3=12 \mathrm{~m}. Son aire est \mathcal{A}=3^2=9 \mathrm{~m}^2.
\mathcal{P}=2 \times L+2 \times \ell
\mathcal{A}=L \times \ell
#Exemple Le périmètre d'un rectangle de longueur 12 cm et de largeur 5 cm est \mathcal{P}=2 \times 12+2 \times 5=34 \mathrm{~cm}. Son aire est \mathcal{A}=12 \times 5=60 \mathrm{~cm}^2.
\mathcal{P}=2 \times \pi \times R
\mathcal{A}=\pi \times \mathrm{R}^2
#Exemple Le périmètre d'un cercle de rayon 7 km est \mathcal{P}=2 \times \pi \times 7 \approx 44 \mathrm{~km}. L'aire du disque est \mathcal{A}=\pi \times 7^2 \approx 154 \mathrm{~km}^2.
\mathcal{A}=\frac{b \times h}{2}
#Exemple L'aire d'un triangle de base 30 cm et de hauteur associée 8 cm est \mathcal{A}=\frac{30 \times 8}{2}=120 \mathrm{~cm}^2.
Le périmètre \mathcal{P} d'une figure correspond à la longueur de son contour.
L'aire \mathcal{A} d'une figure correspond à sa surface.
Le carré
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\mathcal{P}=4 \times c
\mathcal{A}=c^2
#Exemple Le périmètre d'un carré de côté 3 m est \mathcal{P}=4 \times 3=12 \mathrm{~m}. Son aire est \mathcal{A}=3^2=9 \mathrm{~m}^2.
Le rectangle
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\mathcal{P}=2 \times L+2 \times \ell
\mathcal{A}=L \times \ell
#Exemple Le périmètre d'un rectangle de longueur 12 cm et de largeur 5 cm est \mathcal{P}=2 \times 12+2 \times 5=34 \mathrm{~cm}. Son aire est \mathcal{A}=12 \times 5=60 \mathrm{~cm}^2.
Le cercle/le disque
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\mathcal{P}=2 \times \pi \times R
\mathcal{A}=\pi \times \mathrm{R}^2
#Exemple Le périmètre d'un cercle de rayon 7 km est \mathcal{P}=2 \times \pi \times 7 \approx 44 \mathrm{~km}. L'aire du disque est \mathcal{A}=\pi \times 7^2 \approx 154 \mathrm{~km}^2.
Le triangle
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\mathcal{A}=\frac{b \times h}{2}
#Exemple L'aire d'un triangle de base 30 cm et de hauteur associée 8 cm est \mathcal{A}=\frac{30 \times 8}{2}=120 \mathrm{~cm}^2.
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2
Solides usuels
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Un solide est un objet en trois dimensions, c'est-à-dire qu'il occupe un volume \mathcal{V} dans l'espace.
\mathcal{V}=c^3
#Exemple Le volume d'un cube de 6 cm de côté est \mathcal{V}=6^3=216 \mathrm{~cm}^3.
\mathcal{V}=\mathrm{L} \times \ell \times h
#Exemple Le volume d'un pavé droit de longueur 8 m, de largeur 1,5 m et de hauteur 3 m est \mathcal{V}=8 \times 1,5 \times 3=36 \mathrm{~m}^3.
\mathcal{V}=\frac{4}{3} \times \pi \times \mathrm{R}^3
#Exemple Le volume d'une boule de 5 cm de rayon est \mathcal{V}=\frac{4}{3} \times \pi \times 5^3 \approx 523,6 \mathrm{~cm}^3.
\mathcal{V}=\frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text {base }} \times h
#Exemple Le volume d'une pyramide de 30 m de hauteur à base carrée de côté 20 m est \mathcal{V}=\frac{1}{3} \times \underbrace{20 \times 20}_{\mathcal{A}_{\text {base }}} \times 30=4 000 \mathrm{~m}^3.
\mathcal{V}=\frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text {base }} \times h
#Exemple Le volume d'un cône de 4 cm de hauteur et de base circulaire dont le rayon mesure 7 cm est \mathcal{V}=\frac{1}{3} \times \underbrace{\pi \times 7^2}_{\mathcal{A}_{\text {base }}} \times 4 \approx 205,25 \mathrm{~cm}^3.
\mathcal{V}=\mathcal{A}_{\text {base }} \times h
#Exemple Le volume d'un cylindre droit de 8 m de hauteur et de base circulaire dont le rayon mesure 1,5 m est \mathcal{V}=\underbrace{\pi \times 1,5^2}_{\mathcal{A}_{\text {base }}} \times 8 \approx 56,5 \mathrm{~m}^3.
Le cube
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\mathcal{V}=c^3
#Exemple Le volume d'un cube de 6 cm de côté est \mathcal{V}=6^3=216 \mathrm{~cm}^3.
Le pavé droit
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\mathcal{V}=\mathrm{L} \times \ell \times h
#Exemple Le volume d'un pavé droit de longueur 8 m, de largeur 1,5 m et de hauteur 3 m est \mathcal{V}=8 \times 1,5 \times 3=36 \mathrm{~m}^3.
La boule
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\mathcal{V}=\frac{4}{3} \times \pi \times \mathrm{R}^3
#Exemple Le volume d'une boule de 5 cm de rayon est \mathcal{V}=\frac{4}{3} \times \pi \times 5^3 \approx 523,6 \mathrm{~cm}^3.
La pyramide
La pyramide
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\mathcal{V}=\frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text {base }} \times h
#Exemple Le volume d'une pyramide de 30 m de hauteur à base carrée de côté 20 m est \mathcal{V}=\frac{1}{3} \times \underbrace{20 \times 20}_{\mathcal{A}_{\text {base }}} \times 30=4 000 \mathrm{~m}^3.
Le cône
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\mathcal{V}=\frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text {base }} \times h
#Exemple Le volume d'un cône de 4 cm de hauteur et de base circulaire dont le rayon mesure 7 cm est \mathcal{V}=\frac{1}{3} \times \underbrace{\pi \times 7^2}_{\mathcal{A}_{\text {base }}} \times 4 \approx 205,25 \mathrm{~cm}^3.
Le cylindre droit
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\mathcal{V}=\mathcal{A}_{\text {base }} \times h
#Exemple Le volume d'un cylindre droit de 8 m de hauteur et de base circulaire dont le rayon mesure 1,5 m est \mathcal{V}=\underbrace{\pi \times 1,5^2}_{\mathcal{A}_{\text {base }}} \times 8 \approx 56,5 \mathrm{~m}^3.
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3
Agrandissement et réduction
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Dans le cas d'un agrandissement ou d'une réduction d'une figure de rapport \textbf{k} :
Si \mathbf{0\lt k\lt 1}, c'est une réduction.
Si \mathbf{k>1}, c'est un agrandissement.
Si k=1, il n'y a aucun changement.
- les longueurs sont multipliées par \mathbf{k} ;
- les aires sont multipliées par \mathbf{k^2} ;
- les volumes sont multipliés par \mathbf{k^3}.
Si \mathbf{0\lt k\lt 1}, c'est une réduction.
Si \mathbf{k>1}, c'est un agrandissement.
Si k=1, il n'y a aucun changement.
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Exemple
- On considère un carré de côté 3 cm.
Figure réduite avec un rapport {\color{blue}{\mathbf{k = 0,5}}}
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c^{\prime}=c \times {\color{blue}{k}}=3 \times {\color{blue}{0,5}}=1,5 \mathrm{~cm}
\mathcal{A}^{\prime}=\mathcal{A} \times {\color{blue}{k}}^2=9 \times {\color{blue}{0,5}}^2=2,25 \mathrm{~cm}^2
Figure originale
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c=3 \mathrm{~cm}
\mathcal{A}=3^2=9 \mathrm{~cm}^2
Figure agrandie avec un rapport {\color{blue}{\mathbf{k = 2}}}
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c^{\prime \prime}=c \times {\color{blue}{k}}=3 \times {\color{blue}{2}}=6 \mathrm{~cm}
\mathcal{A}^{\prime \prime}=\mathcal{A} \times {\color{blue}{k}}^2=9 \times {\color{blue}{2}}^2=36 \mathrm{~cm}^2
- On considère un cube de côté 3 cm.
Solide réduit avec un rapport {\color{blue}{\mathbf{k = 0,5}}}
\mathcal{V}^{\prime}=\mathcal{V} \times {\color{blue}{k}}^3=27 \times {\color{blue}{0,5}}^3=3,375 \mathrm{~cm}^3
\mathcal{V}^{\prime}=\mathcal{V} \times {\color{blue}{k}}^3=27 \times {\color{blue}{0,5}}^3=3,375 \mathrm{~cm}^3
Solide originale
\mathcal{V}=3^3=27 \mathrm{~cm}^3
\mathcal{V}=3^3=27 \mathrm{~cm}^3
Solide agrandi avec un rapport {\color{blue}{\mathbf{k = 2}}}
\mathcal{V}^{\prime \prime}=\mathcal{V} \times {\color{blue}{k}}^3=27 \times {\color{blue}{2}}^3=216 \mathrm{~cm}^3
\mathcal{V}^{\prime \prime}=\mathcal{V} \times {\color{blue}{k}}^3=27 \times {\color{blue}{2}}^3=216 \mathrm{~cm}^3
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4
Théorème de Pythagore et sa réciproque
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Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Dans le triangle \mathrm{ABC} rectangle en \mathrm{A}, d'après le théorème de Pythagore, on a {\color{red}{\mathrm{BC}^2}}={\color{blue}{\mathrm{AB}^2}}+{\color{green}{\mathrm{AC}^2}}.
Le théorème de Pythagore permet de déterminer une longueur inconnue dans un triangle rectangle lorsque l'on connaît les deux autres.
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
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Dans le triangle \mathrm{ABC} rectangle en \mathrm{A}, d'après le théorème de Pythagore, on a {\color{red}{\mathrm{BC}^2}}={\color{blue}{\mathrm{AB}^2}}+{\color{green}{\mathrm{AC}^2}}.
Le théorème de Pythagore permet de déterminer une longueur inconnue dans un triangle rectangle lorsque l'on connaît les deux autres.
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Exemple
On considère le triangle \mathrm{EFG} ci-dessous. Calculer la longueur \mathrm{EF}.
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- Dans le triangle \mathrm{EFG}, rectangle en \mathrm{F}, le côté \text {[EG]} est l'hypoténuse.
- D'après le théorème de Pythagore, on a : \mathrm{EG}^2=\mathrm{EF}^2+\mathrm{FG}^2.
- On remplace les longueurs connues et on calcule la longueur inconnue :
5^2=\mathrm{EF}^2+3^2
25=\mathrm{EF}^2+9
\mathrm{EF}^2=25-9
\mathrm{EF}^2=16
\mathrm{EF}=\sqrt{16}=4.
La longueur \mathrm{EF} est de 4 cm.
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Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Dans le triangle \mathrm{DEF}, \mathrm{EF} est le plus grand des côtés. Si {\color{red}{\mathrm{EF}^2}}={\color{blue}{\mathrm{DE}^2}}+{\color{green}{\mathrm{DF}^2}} alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \mathrm{DEF} est rectangle en \mathrm{D}.
La réciproque du théorème de Pythagore permet de vérifier si un triangle est rectangle lorsque l'on connaît la mesure de ses trois côtés.
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
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Dans le triangle \mathrm{DEF}, \mathrm{EF} est le plus grand des côtés. Si {\color{red}{\mathrm{EF}^2}}={\color{blue}{\mathrm{DE}^2}}+{\color{green}{\mathrm{DF}^2}} alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \mathrm{DEF} est rectangle en \mathrm{D}.
La réciproque du théorème de Pythagore permet de vérifier si un triangle est rectangle lorsque l'on connaît la mesure de ses trois côtés.
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Exemple
On considère le triangle \mathrm{IJK} ci-dessous. Déterminer, par le calcul, s'il est rectangle.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \mathrm{IJK} est rectangle en \mathrm{J}.
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- Dans le triangle \mathrm{IJK}, [\mathrm{IK}] est le plus grand côté.
- On calcule le carré de sa longueur : \mathrm{IK}^2=10^2=100.
- On calcule la somme des carrés des deux autres longueurs : \mathrm{JK}^2+\mathrm{IJ}^2=8^2+6^2=100.
- On vérifie l'égalité de Pythagore \mathrm{IK}^2=\mathrm{JK}^2+\mathrm{IJ}^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \mathrm{IJK} est rectangle en \mathrm{J}.
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5
Théorème de Thalès
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Si \mathrm{ABC} est un triangle tel que \mathrm{M} appartient au segment \mathrm{[AB]}, \mathrm{N} appartient au segment \mathrm{[AC]} et que les droites \mathrm{(MN)} et \mathrm{(BC)} sont parallèles, alors on a les égalités suivantes.
Le théorème de Thalès permet de déterminer une longueur inconnue dans un triangle dans ce type de configuration.
\frac{{\color{blue}{\mathrm{A}}}{\color{green}{\mathrm{M}}}}{{\color{blue}{\mathrm{A}}}{\color{green}{\mathrm{B}}}}=\frac{{\color{blue}{\mathrm{A}}}{\color{red}{\mathrm{N}}}}{{\color{blue}{\mathrm{A}}}{\color{red}{\mathrm{C}}}}=\frac{{\color{green}{\mathrm{M}}}{\color{red}{\mathrm{N}}}}{{\color{green}{\mathrm{B}}}{\color{red}{\mathrm{C}}}}
Le théorème de Thalès permet de déterminer une longueur inconnue dans un triangle dans ce type de configuration.
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Exemple
On considère le triangle \mathrm{ABC} suivant. Calculer la longueur \mathrm{AC}.
La longueur \mathrm{AC} est de 7,5 \mathrm{cm}.
- Dans le triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{D} appartient à \mathrm{[BA]}, \mathrm{E} appartient à \mathrm{[BC]} et les droites \mathrm{(DE)} et \mathrm{(AC)} sont parallèles.
- D'après le théorème de Thalès, on a : \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}.
- On remplace les longueurs connues et on calcule la longueur inconnue :
\frac{4}{6}=\frac{5}{\mathrm{AC}}
\mathrm{AC}=\frac{5 \times 6}{4}=7,5.
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La longueur \mathrm{AC} est de 7,5 \mathrm{cm}.
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Méthode
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Exercice résolu# Méthode
Un charpentier doit réaliser une charpente pour un de ses clients, cependant il ne possède pas toutes les dimensions nécessaires pour la réaliser. Il demande à son apprenti de calculer les longueurs manquantes à l'aide du schéma suivant.
1. Calculer la longueur \mathrm{PN}.
2. Calculer la longueur \mathrm{KR}. On donne (\mathrm{KR}) / /(\mathrm{PN}).
3. Déterminer, par le calcul, si le triangle \mathrm{AKR} est rectangle.
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1. Calculer la longueur \mathrm{PN}.
Dans le triangle \mathrm{MNP} rectangle en \mathrm{M}, d'après le théorème de Pythagore on a :
P N^2=M N^2+M P^2.
P N^2=8^2+6^2=64+36=100.
P N=\sqrt{100}=10 \mathrm{~m}
La longueur PN est de 10 m.
P N^2=M N^2+M P^2.
P N^2=8^2+6^2=64+36=100.
P N=\sqrt{100}=10 \mathrm{~m}
La longueur PN est de 10 m.
2. Calculer la longueur \mathrm{KR}. On donne (\mathrm{KR}) / /(\mathrm{PN}).
Dans le triangle MNP, le point K appartient à [MP], le point R appartient à [MN] et les droites (KR) // (PN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\frac{MR}{MN}=\frac{MK}{MP}=\frac{KR}{PN}
\frac{3}{8}=\frac{M K}{6}=\frac{KR}{10}, on obtient donc l'égalité \frac{3}{8}=\frac{K R}{10}
K R=\frac{3 \times 10}{8}=3,75 \mathrm{~m}
La longueur KR est de 3,75 m.
\frac{MR}{MN}=\frac{MK}{MP}=\frac{KR}{PN}
\frac{3}{8}=\frac{M K}{6}=\frac{KR}{10}, on obtient donc l'égalité \frac{3}{8}=\frac{K R}{10}
K R=\frac{3 \times 10}{8}=3,75 \mathrm{~m}
La longueur KR est de 3,75 m.
3. Déterminer, par le calcul, si le triangle \mathrm{AKR} est rectangle.
Dans le triangle AKR, [AR] est le côté le plus grand.
AR^2=4,5^2=20,25 et AK^2+KR^2=3,03^2+3,75^2 \approx 23,24. Alors AR^2 \neq A K^2+K R^2.
Donc le triangle AKR n'est pas rectangle.
AR^2=4,5^2=20,25 et AK^2+KR^2=3,03^2+3,75^2 \approx 23,24. Alors AR^2 \neq A K^2+K R^2.
Donc le triangle AKR n'est pas rectangle.
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