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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Suites et matrices
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Capacités attendues
1. Étudier une suite de matrices colonnes (\mathrm{U}_n) définie par une relation de récurrence \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}.
2. Modéliser une situation par un graphe (probabiliste).
3. Associer un graphe orienté pondéré à une chaîne de Markov à deux ou trois états.
4. Étudier une chaîne de Markov à deux ou trois états pour calculer des probabilités, déterminer une probabilité invariante, etc.
2. Modéliser une situation par un graphe (probabiliste).
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L'une des manières de programmer un robot consiste à le laisser expérimenter de manière aléatoire différentes solutions face à un problème qu'il peut rencontrer. Les différents états du robot sont modélisés par les sommets d'un graphe et la transition entre ces différents états est modélisée par les arêtes de ce graphe. À chaque arête est affectée une probabilité. Le comportement n'est pas déterministe, mais son comportement est asymptotiquement prévisible.
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Avant de commencer
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Prérequis
1. Effectuer des opérations sur les matrices.
2. Utiliser les probabilités conditionnelles.
3. Maîtriser les suites.
4. Connaître les généralités sur les graphes.
2. Utiliser les probabilités conditionnelles.
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Andreï Markov, mathématicien russe, était surnommé l'enragé. De tendance moderniste, il s'est illustré par ses sorties contre le tsar ou contre le clergé orthodoxe. C'est en partie en cherchant à contredire un contemporain monarchiste et conservateur qu'il élabora sa théorie sur les chaînes aléatoires qui portent son nom.
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1Multiplier deux matrices
On considère les matrices 3 \times 3 suivantes :
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right).
1. Calculer \mathrm{A} \times \mathrm{B}.2. Calculer \mathrm{A} \times\left(\mathrm{I}_{3}-\mathrm{B}\right) de deux manières différentes.
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2Calculer des puissances de matrice
On considère les matrices 3 \times 3 suivantes :
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right).
1. Calculer \mathrm{A}^{2} et \mathrm{B}^{2}.2. Montrer que \mathrm{AB}=\mathrm{BA}.
3. En déduire (\mathrm{A}+\mathrm{B})^{2}.
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3Utiliser le vocabulaire sur les graphes
On considère le graphe suivant.
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2. Quel est l'ordre de ce graphe ?
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4Utiliser une loi de probabilité
On considère une variable aléatoire \mathrm{X} dont la loi de probabilité est donnée ci‑dessous en fonction d'un nombre réel \alpha.
| \boldsymbol{\color{white}x_i} | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right) | \alpha | 0{,}4 | 0{,}1 | \alpha |
2. Calculer l'espérance et la variance de \mathrm{X}.
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5Utiliser une probabilité conditionnelle
Soient \mathrm{A} et \mathrm{B} deux événements d'un univers tels que \mathrm{P}(\mathrm{A})=0{,}4, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}2 et \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0{,}1.
1. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).2. En déduire \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}).
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6Utiliser la formule des probabilités totales
Soient \mathrm{A} et \mathrm{B} deux événements d'un univers tels que \mathrm{P}(\mathrm{A})=0{,}4, \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0{,}1 et \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B})=0,3.
Calculer \mathrm{P}(\mathrm{B}).
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7Déterminer la limite de suites
1. Donner les limites éventuelles des suites suivantes dont on donne le terme général, pour tout entier naturel n.
a. u_{n}=3^{n}
b. v_{n}=0{,}3^{n}
c. w_{n}=(-3)^{n}
2. Soit \theta un nombre réel fixé.
Déterminer la limite éventuelle de la suite (t_n) définie, pour tout entier n, par t_{n}=\cos \left(\theta^{n}\right).
On pourra distinguer plusieurs cas.
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8Problème
On considère la suite (u_n) définie par u_{0}=1 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=0{,}5 u_{n}+3.
1. Montrer que la suite \left(v_{n}\right) définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par v_{n}=u_{n}-6 est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Exprimer, pour tout n \in \mathbb{N}, v_n en fonction de n puis u_n en fonction de n.
3. En déduire la limite de u_n.
2. Exprimer, pour tout n \in \mathbb{N}, v_n en fonction de n puis u_n en fonction de n.
3. En déduire la limite de u_n.
4. On admet que la suite (u_n) est croissante.
Écrire un algorithme permettant de déterminer le rang à partir duquel les termes de la suite (u_n) sont supérieurs ou égaux à 5{,}5.
Écrire un algorithme permettant de déterminer le rang à partir duquel les termes de la suite (u_n) sont supérieurs ou égaux à 5{,}5.
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