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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Travailler autrement
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Production d'élève
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On donne ci‑dessous un énoncé d'exercice et une copie d'élève.
1. Trouver les erreurs de l'élève et préciser les endroits où la rédaction est incomplète.
2. Le professeur souhaite distribuer un corrigé détaillé de l'exercice. Rédiger une telle correction.
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Énoncé
- Si, pendant une heure, le chercheur demande des financements, il continue à le faire l'heure suivante avec une probabilité de 50 %, enseigne avec une probabilité de 20 %, ou travaille sur son sujet de recherche.
- Si, pendant une heure, le chercheur enseigne, il demande des financements l'heure suivante avec une probabilité de 80 %, travail sur son sujet de recherche avec une probabilité de 10 %, ou bien continue d'enseigner.
- Si, pendant une heure, le chercheur travaille sur son sujet de recherche, il a une probabilité de 30 % de continuer à le faire, une probabilité de 10 % de demander des financements l'heure suivante. Sinon, il enseigne.
Le chercheur commence toujours sa journée par travailler sur son sujet de recherche.
1. Représenter graphiquement la chaîne de Markov associée à la situation, puis déterminer sa matrice de transition.
2. Déterminer la probabilité que le chercheur effectue des demandes de financement durant sa troisième heure de travail de la journée.
1. Le graphe ci‑dessous représente la chaîne de markov associée à la situation.
La matrice de transition de cette chaîne de markov est : \mathrm{M}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}5 & 0{,}2 & 0 \\ 0{,}8 & 0 & 0{,}1 \\ 0{,}1 & 0 & 0{,}3\end{array}\right).
2. La distribution initiale est \mathrm{P}_{0}=(0 \quad 0 \quad 1).
On a \mathrm{M}^{2}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}5^{2} & 0{,}2^{2} & 0^{2} \\ 0{,}8^{2} & 0^{2} & 0{,}1^{2} \\ 0{,}1^{2} & 0^{2} & 0{,}3^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0{,}25 & 0{,}04 & 0 \\ 0{,}64 & 0 & 0{,}01 \\ 0{,}01 & 0 & 0{,}09\end{array}\right).
Donc \mathrm{P}_{1}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}25 & 0{,}04 & 0 \\ 0{,}64 & 0 & 0{,}01 \\ 0{,}01 & 0 & 0{,}09\end{array}\right) \times(0 \quad 0 \quad 1)=(0{,}01 \quad 0 \quad 0{,}09).
Le chercheur a donc une probabilité de 9 % d'effectuer des demandes de financement durant sa troisième heure de travail de la journée.
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La matrice de transition de cette chaîne de markov est : \mathrm{M}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}5 & 0{,}2 & 0 \\ 0{,}8 & 0 & 0{,}1 \\ 0{,}1 & 0 & 0{,}3\end{array}\right).
2. La distribution initiale est \mathrm{P}_{0}=(0 \quad 0 \quad 1).
On a \mathrm{M}^{2}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}5^{2} & 0{,}2^{2} & 0^{2} \\ 0{,}8^{2} & 0^{2} & 0{,}1^{2} \\ 0{,}1^{2} & 0^{2} & 0{,}3^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0{,}25 & 0{,}04 & 0 \\ 0{,}64 & 0 & 0{,}01 \\ 0{,}01 & 0 & 0{,}09\end{array}\right).
Donc \mathrm{P}_{1}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}25 & 0{,}04 & 0 \\ 0{,}64 & 0 & 0{,}01 \\ 0{,}01 & 0 & 0{,}09\end{array}\right) \times(0 \quad 0 \quad 1)=(0{,}01 \quad 0 \quad 0{,}09).
Le chercheur a donc une probabilité de 9 % d'effectuer des demandes de financement durant sa troisième heure de travail de la journée.
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Exercices inversés
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1
1. Dessiner un graphe pouvant admettre comme matrice d'adjacence \mathrm{M}=\left(\begin{array}{llll}0 &1 &1 &0 \\ 1 &0 &0 &1 \\ 1 &0 &0 &1 \\ 0 &1 &1 &0\end{array}\right).
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2. Dessiner un graphe pouvant admettre comme matrice d'adjacence \mathrm{M}=\left(\begin{array}{llll}0 &1 &0 &0 \\ 1 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 1 &0 &0 &1\end{array}\right).
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3. Dessiner un graphe probabiliste pouvant admettre comme matrice de transition \mathrm{M}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}5 &0{,}5 &0 \\ 0{,}6 &0{,}2 &0{,}2 \\ 1 &0 &0\end{array}\right).
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2
Inventer une matrice pouvant être assimilée à la matrice de transition d'un graphe probabiliste.
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3
1. Imaginer une situation nécessitant la réalisation d'un graphe connexe mais non complet.
2. Tracer un graphe dont tous les sommets sont de degré 2.
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4
1. Donner l'écriture d'une matrice inversible.
2. Donner l'écriture d'une matrice non inversible.
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5
Proposer un problème amenant à la résolution du système suivant : \left\{\begin{array}{l}2 x+6 y=60 \\ 2 x+3 y=45\end{array}\right..
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Comment les graphes sont‑ils employés dans les applications suivantes : réseaux de transport, automates et problèmes de
coloration. Trouver d'autres exemples d'applications concrètes.
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