1. On définit dans \mathbb{R}^2 une addition et une multiplication externe par un réel qui correspond à celle définie sur les vecteurs : pour tous réels x, y, x^\prime et y^\prime, on a (x\,; y)+\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}\,; y+y^{\prime}\right) et, pour tout réel \lambda, on a \lambda \cdot(x\,; y)=(\lambda x\,; \lambda y).

2. On dit qu'une fonction f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} est un endomorphisme de \mathbb{R}^{2} lorsque, pour tous vecteurs \text{X} et \text{Y} de \mathbb{R}^{2} et pour tout réel \lambda, f(\mathrm{X}+\lambda \mathrm{Y})=f(\mathrm{X})+\lambda f(\mathrm{Y}).
En désignant par x, y, x^\prime et y^\prime les réels tels que \mathrm{X}=(x\,; y) et \mathrm{Y}=\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right), l'égalité précédente devient f\left((x\,; y)+\lambda\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right)\right)=f(x\,; y)+\lambda f\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right).

3. Soit \mathcal{B}=(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) est une base de \mathbb{R}^{2}. f étant à valeurs dans \mathbb{R}^{2}, on note a, b, c et d les uniques nombres réels tels que f(\overrightarrow{u})=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v} et f(\overrightarrow{v})=c \overrightarrow{u}+d \overrightarrow{v}. La matrice de f dans \mathcal{B}, que l'on note \operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(f), est la matrice \left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right).

1. Soit f:(x\,; y) \in \mathbb{R}^{2} \mapsto(2 x-5 y\,; x+3 y) \in \mathbb{R}^{2}.

• f est une fonction de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R}^2.
• Soient x, x^\prime, y et y^\prime quatre réels. Soit \lambda un réel.
  On a f\left((x\,; y)+\lambda\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right)\right) =f\left(x+\lambda x^{\prime}\,; y+\lambda y^{\prime}\right)
  =\left(2\left(x+\lambda x^{\prime}\right)-5\left(y+\lambda y^{\prime}\right) ; x+\lambda x^{\prime}+3\left(y+\lambda y^{\prime}\right)\right)
  =\left(2 x-5 y+\lambda\left(2 x^{\prime}-5 y^{\prime}\right) ; x+3 y+\lambda\left(x^{\prime}+3 y^{\prime}\right)\right)
  =(2 x-5 y\,; x+3 y)+\lambda\left(2 x^{\prime}-5 y^{\prime}\,; x^{\prime}+3 y^{\prime}\right)
  =f(x\,; y)+\lambda f\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right) Donc f est un endomorphisme de \mathbb{R}^2.
• On a f(\overrightarrow{i})=f(1\,; 0)=(2 \times 1-5 \times 0\,; 1+3 \times 0)=(2\,; 1)=\textcolor{#f2b946}{2} \overrightarrow{i}+ \textcolor{#b1354f}{1} \overrightarrow{j} et f(\overrightarrow{j})=f(0\,; 1)=(-5\,; 3)=\textcolor{#44a3a2}{-5} \overrightarrow{i}+\textcolor{#2c85bb}{3} \overrightarrow{j} donc \operatorname{Mat}_{\mathrm{C}}(f)=\left(\begin{array}{cc}\textcolor{#f2b946}{2} & \textcolor{#44a3a2}{-5} \\ \textcolor{#b1354f}{1} & \textcolor{#2c85bb}{3}\end{array}\right).

2. La fonction g:(x\,; y) \mapsto(2 x-3 y\,; 4 x-y\,; 2 y) n'est pas un endomorphisme de \mathbb{R}^2 car elle est à valeurs dans \mathbb{R}^3.