Adapté de ENSTIM, 2010, toutes filières

Le but de ce problème est d'étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée, c'est‑à‑dire qui vérifient la relation : \mathrm{M} \times \, ^{t} \mathrm{M}= \,^{t} \mathrm{M} \times \mathrm{M}\,\,\,(1).
Dans la suite de l'énoncé, on se contentera alors de dire, dans ce cas, que la matrice \text{M} vérifie la relation (1).
Toutes les matrices envisagées seront dans l'espace \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}), c'est‑à‑dire ayant 2 lignes, 2 colonnes et des coefficients réels.
On notera en particulier : \mathrm{I}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) et \mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right). 1. Montrer que les matrices \text{A} et \text{C} vérifient la relation (1).

2.Calculer \mathrm{A}^2. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, \mathrm{A}^n vérifie la relation (1).

3. Montrer que \text{A} est inversible.

Dans toute la suite on notera \mathrm{U}=\mathrm{A}+\mathrm{I}.

4. a. Montrer que la matrice \text{U} vérifie la relation (1).

b. Montrer que, pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, il existe un nombre réel noté \alpha_n tel que \mathrm{U}^{n}=\alpha_{n} \mathrm{U}.

c. En déduire que, pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, \mathrm{U}^n vérifie (1).

On notera dans la suite \mathrm{E}_2 l'ensemble des matrices de \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) qui vérifient la relation (1).

5. a. Calculer les produits de la matrice \mathrm{A}+\mathrm{C} et de sa transposée.

b. En déduire que la somme de deux matrices de \mathrm{E}_2 n'est pas nécessairement une matrice de \mathrm{E}_2.

6. Etant donné une matrice \mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) quelconque de \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}), déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur a, b, c et d, pour que \text{M} appartienne à \mathrm{E}_2. On donnera les deux formes possibles des matrices de \mathrm{E}_2.

Adapté de ENSTIM, 2006, toutes filières

Soit (x\,; y) un élément quelconque de \mathbb{R}^2. On note \mathrm{M}_{x, y} la matrice \left(\begin{array}{cc}x-y & y \\ 2 & x+y\end{array}\right). Soit \Sigma le sous‑ensemble de \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) tel que \Sigma=\left\{\mathrm{M}_{x, y},(x\,; y) \in \mathbb{R}^{2}\right\}. 1. Quelle relation doivent vérifier x et y pour que la matrice \mathrm{M}_{x, y} ne soit pas inversible ?
Calculer le produit \mathrm{M}_{x, y} \times \mathrm{M}_{-x, y}.
En déduire l'inverse de \mathrm{M}_{x, y} lorsqu'il existe.

2. On dit qu'un sous‑ensemble \text{F} de \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) est stable par combinaison linéaire lorsque, pour tous \text{A}, \text{B} dans \text{F} et tous réels \lambda, \mu, \lambda \mathrm{A}+\mu \mathrm{B} \in \mathrm{F}.
L'ensemble \Sigma est‑il stable par combinaison linéaire ?

3. Soient \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ -2 & 0\end{array}\right) et \mathrm{J}=\left\{\mathrm{A}+\mathrm{M}_{x, y}\,,(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}\right\}.
a. Montrer que \text{J} est stable par combinaison linéaire.

b. Posons \mathrm{M}_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) et \mathrm{M}_{2}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right). Montrer que \mathrm{M}_{1} et \mathrm{M}_{2} appartiennent à \text{J}.

c. Soit \mathrm{M} \in \mathrm{J}. Montrer qu'il existe un unique couple (\alpha\,; \beta) \in \mathbb{R}^{2} tel que \mathrm{M}=\alpha \mathrm{M}_{1}+\beta \mathrm{M}_{2}.

d. Montrer que \times est une loi de composition interne sur \text{J}.

Soit \text{B} une matrice quelconque de \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{\mathrm{B}} l'application de \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) dans \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) qui, à la matrice \text{X}, associe la matrice \varphi_{\mathrm{В}}(\mathrm{X})=\mathrm{В} \times \mathrm{X}.

4. On dit que \varphi_{\mathrm{B}} est surjective (respectivement bijective) si, pour tout \text{Y} de \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}), il existe (respectivement un unique) \text{X} de \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) tel que \mathrm{Y}=\varphi_{\mathrm{B}}(\mathrm{X}).

a. On suppose dans cette question que \mathrm{B}=\mathrm{M}_{2,1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right).
\varphi_{\mathrm{B}} est‑elle surjective ? Bijective ?

b. On suppose dans cette question que \mathrm{B}=\mathrm{M}_{0,-2}=\left(\begin{array}{ll}2 & -2 \\ 2 & -2\end{array}\right).
\varphi_{\mathrm{B}} est‑elle surjective ? Bijective ?