1

Étudier une suite de matrices colonnes \mathbf{U}_{\mathbf{n}+\mathbf{1}}=\mathbf{A} \mathbf{U}_{\mathbf{n}}+\mathbf{B}. Cela permet de :

✔ étudier des couples de suites \left(u_{n}\,; v_{n}\right) définies par récurrences croisées ;
✔ étudier un système dynamique tel que le système proie‑prédateur.

2

Associer un graphe à une chaîne de Markov. Cela permet de :

✔ visualiser les probabilités de transition et ainsi obtenir la matrice de transition \mathrm{P} ;
✔ trouver les probabilités de transitions manquantes en prenant en compte le fait que la somme des probabilités sortantes d'un état vaut 1.

3

Étudier une chaîne de Markov sur plusieurs rangs. Cela permet de :

✔ connaître la distribution de probabilité \pi_{n+1}=\pi_{n} \mathrm{P} de la chaîne de Markov après un nombre donné de transitions ;
✔ calculer la distribution de probabilité après n transitions en utilisant \pi_{n}=\pi_{0} \times \mathrm{P}^{n}.

4

Trouver une distribution invariante \boldsymbol{\pi} d'une chaîne de Markov, c'est‑à‑dire une matrice ligne vérifiant \boldsymbol{\pi=\pi \mathbf{P}}
Cela permet de :

✔ déterminer une distribution asymptotique de la chaîne de Markov ;
✔ déterminer la distribution asymptotique de la chaîne de Markov lorsque la matrice de transition \mathrm{P} ne contient pas de 0.