Enseignement scientifique Terminale - 2024

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Une histoire du vivant
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Calcul littéral

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Point de cours 1

Objectif
Je veux revoir le calcul fractionnaire

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Soient a, b, c et d quatre nombres réels, avec b et d non nuls.

  • Somme et différence de fractions

    Pour calculer la somme ou la différence de deux fractions, on commence systématiquement par réduire ces fractions au même dénominateur :
    • \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \times d}{b \times d}+\frac{c \times b}{d \times b}=\frac{a d+c b}{b d} \text {; }

    • \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a \times d}{b \times d}-\frac{c \times b}{d \times b}=\frac{a d-c b}{b d}.
    Remarque
    On peut écrire \frac{a+c}{b}=\frac{a}{b}+\frac{c}{b}. Cependant, \frac{a}{b+d} n'admet pas de décomposition dans le cas général.

  • Produit et quotient de fractions

    On a \frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}. Il est donc inutile de réduire les deux fractions au même dénominateur.
    On rappelle que diviser par un nombre équivaut à multiplier par son inverse. Ainsi, dans le cas où c est également non nul :
    \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}=\frac{a d}{b c}.
    • Remarque
    Prendre une fraction d'une quantité, c'est multiplier la quantité par cette fraction.

  • Fractions et pourcentages

    Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur vaut 100.
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Questions

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1
On considère trois nombres réels non nuls \mathrm{R}_1, \mathrm{R}_2 et \mathrm{R}_3. Écrire sous la forme d'une seule fraction la quantité \frac{1}{\mathrm{R}_1}+\frac{1}{\mathrm{R}_2}+\frac{1}{\mathrm{R}_3}.
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2
On estime que 71 % de la Terre est occupée par les océans. On estime également la surface terrestre à 510 millions de kilomètres carrés. Quelle est la surface sur Terre occupée par les océans ?
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Point de cours 2

Objectif
Je veux revoir la proportionnalité

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Deux grandeurs sont dites proportionnelles lorsque les valeurs de l'une peuvent être obtenues en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul k appelé coefficient de proportionnalité.
Lorsqu'on connaît trois valeurs d'un tableau de proportionnalité, on peut déterminer la quatrième.

Placeholder pour Tableau de proportionnalitéTableau de proportionnalité

On a a=\frac{b \times c}{d}, b=\frac{a \times d}{c}, c=\frac{a \times d}{b} et d=\frac{b \times c}{a}.
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Question

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3
Pour estimer l'abondance \mathrm{N} d'une population dans un milieu, la méthode de capture-marquage-recapture consiste à prélever \mathrm{M} individus, à les marquer, puis à les relâcher.
Dès lors, la proportion d'individus marqués dans la population est \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}}.
On procède à une deuxième capture de n individus et on observe que, parmi eux, m sont marqués.
On peut supposer que la proportion d'individus marqués ne varie pas selon l'échantillon de population choisi.

a. Expliquer comment on peut estimer la valeur \mathrm{N} du nombre total d'individus dans cette population.
b. On suppose qu'on a procédé au marquage de 1 827 poissons d'une rivière qu'on a ensuite relâchés. Lors de la seconde capture, on pêche 1 337 poissons dont 423 sont marqués. À combien peut-on estimer le nombre de poissons dans cette rivière ?
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Point de cours 3

Objectif
Je veux revoir les règles de calcul sur les racines carrées et les puissances

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  • Racines carrées

    Soient a un nombre positif ou nul et b un nombre strictement positif.
    On a \sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b} et \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
    Remarque
    Il n'y a pas d'égalité similaire pour les additions ou les soustractions.
    Il faut également faire attention : dans le cas général, \sqrt{a^2}=|a|.

  • Puissances

    Soient a un nombre réel non nul, et m et n deux entiers. On a les règles de calcul suivantes.

    1. a^{m+n}=a^m \times a^n

    2. \frac{1}{a^n}=a^{-n}
    3. \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

    4. \left(a^m\right)^n=a^{m \times n}

    Remarque
    2 \times 4^n ne vaut pas 8^n. En revanche, 2 \times 4^n=2 \times\left(2^2\right)^n=2 \times 2^{2 n}=2^{1+2 n}.
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Questions

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4
Calculer, sans calculatrice, la valeur exacte des quantités suivantes sous la forme la plus simple possible.

\mathrm{A}=\sqrt{20}-2 \sqrt{45}
\mathrm{B}=\sqrt{300}-4 \sqrt{27}
\mathrm{C}=2 \sqrt{100}+3 \sqrt{9}
\mathrm{D}=5 \sqrt{12}-3 \sqrt{27}
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5
Écrire les nombres suivants sous la forme d'une puissance de 10.

\mathrm{E}=10 000 000 000
\mathrm{F}=1 000 000 \times 0,00001
\mathrm{G}=\frac{10 000 \times 0,0000001}{0,00001 \times 0,00001}
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6
Calculer, en utilisant les puissances de 10, les quantités suivantes.

\mathrm{H}=\left(10^{-9}\right)^3 \times\left(10^3\right)^9
\mathrm{K}=\frac{1 000 \times 10^{-5}}{10^{-3} \times 10^2}
\mathrm{L}=\frac{10^{-5} \times 10^{-3} \times 10^{11}}{0,00001 \times 10^7}
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7
Écrire chacune des quantités suivantes sous la forme d'une seule puissance (m et n sont deux entiers).

\mathrm{M}=8 \times 2^m \times 4^n
\mathrm{N}=\frac{25^m}{5^n}
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Point de cours 4

Objectif
Je veux utiliser l'écriture scientifique d'un nombre décimal

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  • Une puissance de 10 est un nombre décimal pouvant s'écrire sous la forme 10^n où n est un entier (éventuellement négatif).
  • Tout nombre décimal non nul peut s'écrire, de manière unique, sous la forme \pm a \times 10^n, où a est un nombre décimal vérifiant 1 \leqslant a\lt10 et n un entier relatif. On dit alors que le nombre est écrit sous forme d'écriture scientifique.
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Exemple

  • 578=5,78 \times 10^2
  • 3=3\times 10^0
  • 0,25=2,5 \times 10^{-1}
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L'écriture scientifique est particulièrement adaptée à la comparaison de nombres décimaux. Pour comparer deux nombres écrits sous forme scientifique :
  • on compare leur puissance de 10 ;
  • si les puissances de 10 sont les mêmes, on compare le nombre a correspondant à la notation scientifique.
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Questions

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8
On donne ci-dessous les masses des huit planètes du Système solaire.

PlanèteMercureVénusTerreMarsJupiterSaturneUranusNeptune
Masse (kg)0,329 \times 10^{24}48,7 \times 10^{23}5,97 \times 10^{24}639 \times 10^{21}1,90 \times 10^{27}568 \times 10^{24}8,68 \times 10^{25}1,02 \times 10^{26}

a. Écrire les différentes masses sous forme d'écriture scientifique.
b. Classer les planètes du Système solaire dans l'ordre croissant de masse.
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Point de cours 5

Objectif
Je veux revoir les règles de développement

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  • Développement et factorisation

    On considère quatre réels a, b, c et d. On a :
    • a(b+c)=a b+a c
    • (a+b)(c+d)=a c+a d+b c+b d

  • Identités remarquables

    Soient a et b deux réels. On a :
    • (a+b)^2=a^2+2 a b+b^2
    • (a-b)^2=a^2-2 a b+b^2
    • (a+b)(a-b)=a^2-b^2
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Questions

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9
Développer chacune des expressions suivantes, toutes les données étant des réels.

a. \mathrm{E}_{\mathrm{pp}}=m g\left(z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}\right)
b. v^2=\left(v_1-v_2\right)^2
c. \mathrm{L}=(2 \mathrm{H}-h)^2
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Point de cours 6

Objectif
Je veux isoler une grandeur dans une égalité

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Pour isoler une grandeur qui n'apparaît qu'une fois dans une égalité, il faut, dans un premier temps, lister toutes les opérations la mettant en jeu en prenant garde aux priorités opératoires. Ensuite, on remonte cette liste d'opérations en les inversant.
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Exemple

On veut isoler v dans l'égalité \mathrm{E}_c=\frac{1}{2} m v^2. On observe que v est élevé au carré, puis multiplié par m et par \frac{1}{2}.
Pour l'isoler, on commence par diviser par \frac{1}{2}, c'est-à-dire multiplier par 2 : 2 \mathrm{E}_c=m v^2, puis on divise par m : \frac{2 \mathrm{E}_c}{m}=v^2. En utilisant la racine carrée et puisque v est positif, on obtient v=\sqrt{\frac{2 \mathrm{E}_c}{m}}.
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Question

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10
Pour chacune des égalités suivantes, isoler le paramètre indiqué. a. Isoler d dans \mathrm{F}=\frac{\mathrm{Gmm'}}{d^2} sachant que d est strictement positif.
b. Isoler \mathrm{T} dans \mathrm{R}=\mathrm{R}_0(1+a \mathrm{~T}) sachant que \mathrm{R}_0 et a sont non nuls.
c. Isoler \mathrm{T} dans \frac{\mathrm{T}^2}{a^3}=\mathrm{C} sachant que \mathrm{T} est positif.
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Point de cours 7

Objectif
Je veux résoudre des équations

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Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie.

  • Résolution d'équations du premier degré

    Une équation du premier degré est une équation pouvant s'écrire sous la forme a x+b=c x+d, où a, b, c et d sont quatre nombres réels fixés.
    On résout ces équations en manipulant les égalités de manière à isoler l'inconnue.

  • Résolution d'équations au produit nul

    Une équation au produit nul est une équation de la forme \mathrm{A}(x) \times \mathrm{B}(x)=0.
    Pour résoudre cette équation, on utilise la propriété suivante : un produit de réels est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    Autrement dit, \mathrm{A}(x) \times \mathrm{B}(x)=0 signifie que soit \mathrm{A}(x)=0, soit \mathrm{B}(x)=0. On résout ensuite ces équations séparément.
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Question

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11
Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes.
a. 4 x-5=7 x-8
b. 3 x+5=-2 x+4
c. (5 x+1)(-2 x+3)=0
d. (2 x-1)(7 x+3)(-2 x-4)=0
e. x^2-4=0
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