Droites et fonctions affines

Une fonction f définie sur \mathbb{R} est une fonction affine lorsqu'il existe deux réels m et p tels que, pour tout réel x, f(x)=m x+p.

Dans le cas particulier où p = 0, on dit que la fonction f est linéaire.

La fonction affine f représentée ci-dessous permet de convertir une température, exprimée en degré Celcius (°C), en degré Fahrenheit (°F).



a. À l'aide du graphique, proposer une expression de la fonction f.

b. En déduire la conversion de 100 °C en °F.

c. On admet que la fonction h permettant de convertir une température x, donnée en °F, en °C est définie par h(x)=\frac{5}{9}(x-32). Tracer la représentation graphique de h dans un repère.

Le modèle de White permet d'exprimer la température moyenne \mathrm{T} à la surface de la Terre, en degrés Celcius (°C), en fonction de la concentration en dioxyde de carbone CO₂, notée c et exprimée en partie par million (ppm), dans l'atmosphère.

Le graphique ci-dessous permet de mettre en évidence la dépendance entre cette température et la concentration moyenne de dioxyde de carbone CO₂.


a. Justifier que la courbe représente une fonction affine.

b. Déterminer graphiquement quels sont les réels m et p tels que, pour tout réel c, T(c)=m c+p.

c. Interpréter dans le cadre de l'exercice la valeur de m obtenue.

On considère le mur d'une maison d'épaisseur e séparant deux milieux. L'intérieur de la maison est à une température \mathrm{T}_1 et l'extérieur de la maison à une température \mathrm{T}_2. On suppose que \mathrm{T}_1 > \mathrm{T}_2.
On souhaite déterminer la température T à travers le mur.
On note x=0 l'abscisse correspondant à la paroi intérieure et x=e l'abscisse correspondant à la paroi extérieure.
On peut montrer que sous certaines conditions, la température du mur à l'abscisse x \in[0 ; e] est donnée par :


a. Quel est le coefficient directeur de la droite associée à la fonction affine \mathrm{T} ? Quel est son signe ? Que peut-on en déduire ?

b. À l'aide de l'expression de la fonction \mathrm{T}, calculer \mathrm{T}(0) et \mathrm{T}(e). Les valeurs obtenues sont-elles cohérentes avec la situation de l'énoncé ?

c. On souhaite tracer la représentation graphique de la fonction \mathrm{T} sur [0 ; e]. On suppose dans cette question que \mathrm{T}_1=18 ^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}_2=10 ^{\circ} \mathrm{C} et e=20 \mathrm{cm}. Tracer cette représentation graphique.

La méthode de datation au rubidium-strontium est une méthode de datation permettant notamment de déterminer l'âge de certains récifs montagneux.
Cette méthode repose sur l'observation d'un élément radioactif, le rubidium 87 (⁸⁷Rb), qui se désintègre en strontium 87 (⁸⁷Sr). Plus précisément, on procède à différentes mesures des rapports ⁸⁷Sr/⁸⁶Sr et ⁸⁷Rb/⁸⁶Sr sur différents échantillons du minéral étudié.
En positionnant les mesures obtenues dans un repère, on peut tracer une droite approchant le nuage de points et dont le coefficient directeur permet de déterminer l'âge du minéral.


a. Déterminer le coefficient directeur de la droite tracée ci-dessus.

b. Pour aller plus loin. On admet que dans le cadre de la méthode de datation au rubidium-strontium, le coefficient directeur a calculé vérifie a=\mathrm{e}^{\lambda t}-1, avec \lambda=1,397 \times 10^{-11}  \mathrm{an}^{-1} et où t désigne l'âge de la roche. Déterminer t dans le cadre de cet exercice.