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Algorithmique et programmation
Dossier Scratch
Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres relatifs
Ch. 2
Addition et soustraction de nombres rationnels
Ch. 3
Multiplication et division de nombres rationnels
Ch. 4
Puissances
Ch. 5
Calcul littéral
Ch. 6
Résolution d'équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 7
Statistiques
Ch. 8
Probabilités
Ch. 9
Notion de fonctions
Ch. 10
Proportionnalité
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 11
Théorème de Thalès
Ch. 12
Propriétés des triangles rectangles
Ch. 13
Géométrie plane
Ch. 14
Géométrie dans l'espace
Prolongement
Chapitre 11
Méthodes
Le théorème de Thalès
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Calculer une longueur
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Énoncé
\mathrm{MHS} et \mathrm{MAT} sont deux triangles emboîtés tels que (\mathrm{AT}) est parallèle à (\mathrm{HS}).
On sait que {\mathrm{MA}=4 \mathrm{~cm}}, {\mathrm{MH}=14 \mathrm{~cm}}, {\mathrm{MT}=3 \mathrm{~cm}} et {\mathrm{HS}=7 \mathrm{~cm}}. Calculer les longueurs \mathrm{MS} et \mathrm{AT}.
On sait que {\mathrm{MA}=4 \mathrm{~cm}}, {\mathrm{MH}=14 \mathrm{~cm}}, {\mathrm{MT}=3 \mathrm{~cm}} et {\mathrm{HS}=7 \mathrm{~cm}}. Calculer les longueurs \mathrm{MS} et \mathrm{AT}.
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- On écrit les hypothèses (autrement dit les données) pour appliquer le théorème de Thalès.
- On écrit les égalités de quotients en utilisant les noms des points.
- On remplace par les longueurs connues exprimées dans la même unité.
- On calcule les longueurs demandées.
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Solution
Dans le triangle \mathrm{MHS}, \mathrm{A} appartient à [\mathrm{MH}] et \mathrm{T} appartient à [\mathrm{MS}]. De plus, on sait que (\mathrm{AT}) et (\mathrm{HS}) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
On obtient \mathrm{MS}=\frac{14 \times 3}{4}=10,5 \mathrm{~cm} et \mathrm{AT}=\frac{4 \times 7}{14}=2 \mathrm{~cm}.
D'après le théorème de Thalès, on a :
{\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MH}}=\frac{\mathrm{MT}}{\mathrm{MS}}=\frac{\mathrm{AT}}{\mathrm{HS}}} donc {\frac{4}{14}=\frac{3}{\mathrm{MS}}=\frac{\mathrm{AT}}{7}}.
On obtient \mathrm{MS}=\frac{14 \times 3}{4}=10,5 \mathrm{~cm} et \mathrm{AT}=\frac{4 \times 7}{14}=2 \mathrm{~cm}.
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Montrer que deux droites sont ou ne sont pas parallèles
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Énoncé
Dans la figure suivante, on sait que les points \mathrm{A}, \mathrm{D}, \mathrm{F} et \mathrm{B} sont alignés, tout comme les points \mathrm{A}, \mathrm{E}, \mathrm{G} et \mathrm{C}.
1. Montrer que (\mathrm{DE}) et (\mathrm{FG}) sont parallèles.
2. Montrer que (\mathrm{DE}) et (\mathrm{BC}) ne sont pas parallèles.
1. Montrer que (\mathrm{DE}) et (\mathrm{FG}) sont parallèles.
2. Montrer que (\mathrm{DE}) et (\mathrm{BC}) ne sont pas parallèles.
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1. On vérifie que l'on est dans une situation de triangles emboîtés.
2. On vérifie si les deux quotients utilisant le sommet principal (ici \mathrm{A}) sont égaux ou non :
2. On vérifie si les deux quotients utilisant le sommet principal (ici \mathrm{A}) sont égaux ou non :
- s'ils sont égaux, on utilise la réciproque du théorème de Thalès ;
- s'ils ne sont pas égaux, on utilise un raisonnement par l'absurde.
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Solution
1. Dans le triangle \mathrm{AFG}, \mathrm{D} appartient à [\mathrm{AF}] et \mathrm{E} appartient à [\mathrm{AG}].
De plus, on a \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AF}}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3} et \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AG}}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3} donc {\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AF}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AG}}}.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, (\mathrm{DE}) et (\mathrm{FG}) sont parallèles.
2. Dans le triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{D} appartient à [\mathrm{AB}] et \mathrm{E} appartient à [\mathrm{AC}].
\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4} et \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{7}{30} \neq \frac{1}{4}.
En raisonnant par l'absurde, on en déduit que (\mathrm{DE}) et (\mathrm{BC}) ne sont pas parallèles.
De plus, on a \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AF}}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3} et \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AG}}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3} donc {\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AF}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AG}}}.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, (\mathrm{DE}) et (\mathrm{FG}) sont parallèles.
2. Dans le triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{D} appartient à [\mathrm{AB}] et \mathrm{E} appartient à [\mathrm{AC}].
\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4} et \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{7}{30} \neq \frac{1}{4}.
En raisonnant par l'absurde, on en déduit que (\mathrm{DE}) et (\mathrm{BC}) ne sont pas parallèles.
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