En 1494, Luca Pacioli publie une encyclopédie mathématique, la Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, dans laquelle apparaît pour la première fois une réponse au problème des partis. Il y est présenté sous la forme suivante : deux joueurs (appelés partis), misant chacun une certaine somme d'argent, participent à un jeu qui se gagne en 60 points. Si le jeu est interrompu avant de pouvoir arriver à sa fin (par exemple sur le score 50-20), comment doivent se répartir les gains entre chacun des partis ? C'est ainsi que s'est ouverte la porte des mathématiques du probable. 150 ans plus tard, dans leurs échanges épistolaires, Blaise Pascal et Pierre de Fermat reprennent le problème des partis sous le nom de « problème du chevalier de Mérée » et y apportent une solution qui formera une base aux premiers calculs de probabilité. S'inspirant de ces échanges, Christian Huygens publie en 1657 son Tractatus de ratiociniis in alea ludo qui constitue le premier traité mathématique consacré aux probabilités et ouvre la voie à cette nouvelle branche des mathématiques.

Photo du Summa de arithmetica, geometria, proportioni, et proportionalita, de Luca Pacioli

Summa de arithmetica, geometria, proportioni, et proportionalita, Luca Pacioli, édition de Toscolano, 1523.

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Activité 1
Jeu d'adresse !

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Objectif

Découvrir la probabilité d'un événement.

Voir cours 1 p. 160

Le Mikado est un jeu d'adresse composé de baguettes réparties comme suit :

une baguette à spirale (le mikado, qui vaut 20 points) ;
5 baguettes bleu/rouge/bleu (10 points chacune) ;
5 baguettes rouge/bleu/rouge/bleu/rouge (5 points chacune) ;
15 baguettes rouge/jaune/bleu (3 points chacune) ;
15 baguettes bleu/rouge (2 points chacune).

On choisit une baguette au hasard parmi les 41 possibles.

1
Quelle baguette est-il le moins probable de choisir ?

2
On s'intéresse à la valeur de la baguette.
a. Quelle est la probabilité de l'événement « Choisir la baguette valant 20 points » ?

b. Que peut-on dire de l'événement « Choisir une baguette valant 30 points » ? En déduire sa probabilité.

c. Quelle est la probabilité de l'événement « Choisir une baguette valant exactement 10 points » ?

d. Quelle est la probabilité de l'événement « Choisir une baguette valant au moins 5 points » ?

Bilan

Quelle formule peut-on conjecturer concernant la probabilité d'un événement \text {A} ?

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Activité 2
Tout et son contraire !

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Objectif

Découvrir la notion d'événement contraire et sa probabilité.

Voir cours 2 p. 160

On dispose d'un jeu de Scrabble^®. Il est composé de 102 jetons tous indiscernables au toucher :

2 jokers qui ne rapportent aucun point ;
les 100 autres jetons représentent les 26 lettres de l'alphabet, réparties de la manière suivante.

A₁	B₃	C₃	D₂	E₁	F₄	G₂	H₄	I₁	J₈	K₁₀	L₁	M₂
9	2	2	3	15	2	2	2	8	1	1	5	3

N₁	O₁	P₃	Q₈	R₁	S₁	T₁	U₁	V₄	W₁₀	X₁₀	Y₁₀	Z₁₀
6	6	2	1	6	6	6	6	2	1	1	1	1

On peut déduire de ce tableau, par exemple :

que trois jetons portent la lettre D et rapportent chacun 2 points ;
que 15 jetons portent la lettre E et rapportent chacun 1 point.

On tire au hasard un jeton de Scrabble® et on considère les trois événements \text {A}, \text {B} et \text {C} suivants :

\text {A} : « Le jeton rapporte 4 points ou plus » ;
\text {B} : « Le jeton est celui d'une voyelle » ;
\text {C} : « Le jeton est celui d'une consonne ou d'un joker ».

1
Calculer la probabilité des événements \text {A}, \text {B} et \text {C}.

Coup de pouce

On utilisera la formule \mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{\text { nombre d'issues favorables à l'événement A }}{\text { nombre total d'issues }}.

2
Est-il possible de trouver une issue qui soit à la fois dans l'événement \text {A} et dans l'événement \text {B} ? Justifier.

3
a. Est-il possible de trouver une issue qui soit en même temps dans l'événement \text {B} et dans l'événement \text {C} ? Justifier.

b. Est-il possible de trouver une issue qui ne soit ni dans l'événement \text {B} ni dans l'événement \text {C} ? On dit alors que les deux événements \text {B} et \text {C} sont des événements contraires.

c. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{C}).

d. À la probabilité de quel événement la valeur obtenue correspond-elle ?

Bilan

En justifiant, déterminer un événement contraire à l'événement \text {A}. En déduire sa probabilité en fonction de celle de \text {A}.

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Mathématiques 4e - 2022

Probabilités

Histoire des maths

Le problème des partis

Activité 1Jeu d'adresse !

Activité 2Tout et son contraire !

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Activité 1
Jeu d'adresse !

Activité 2
Tout et son contraire !