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Algorithmique et programmation
Dossier Scratch
Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres relatifs
Ch. 2
Addition et soustraction de nombres rationnels
Ch. 3
Multiplication et division de nombres rationnels
Ch. 4
Puissances
Ch. 5
Calcul littéral
Ch. 6
Résolution d'équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 7
Statistiques
Ch. 8
Probabilités
Ch. 9
Notion de fonctions
Ch. 10
Proportionnalité
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 11
Théorème de Thalès
Ch. 12
Propriétés des triangles rectangles
Ch. 13
Géométrie plane
Ch. 14
Géométrie dans l'espace
Prolongement
Chapitre 8
Activités
Probabilités
10 professeurs ont participé à cette page
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Histoire des maths
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Le problème des partis
En 1494, Luca Pacioli publie une encyclopédie mathématique, la Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, dans laquelle apparaît pour la première fois une réponse au problème des partis. Il y est présenté sous la forme suivante : deux joueurs (appelés partis), misant chacun une certaine somme d'argent, participent à un jeu qui se gagne en 60 points. Si le jeu est interrompu avant de pouvoir arriver à sa fin (par exemple sur le score 50-20), comment doivent se répartir les gains entre chacun des partis ? C'est ainsi que s'est ouverte la porte des mathématiques du probable.
150 ans plus tard, dans leurs échanges épistolaires, Blaise Pascal et Pierre de Fermat reprennent le problème des partis sous le nom de « problème du chevalier de Mérée » et y apportent une solution qui formera une base aux premiers calculs de probabilité. S'inspirant de ces échanges, Christian Huygens publie en 1657 son Tractatus de ratiociniis in alea ludo qui constitue le premier traité mathématique consacré aux probabilités et ouvre la voie à cette nouvelle branche des mathématiques.
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Summa de arithmetica, geometria, proportioni, et proportionalita, Luca Pacioli, édition de Toscolano, 1523.
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Activité 1Jeu d'adresse !
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Le Mikado est un jeu d'adresse composé de baguettes réparties comme suit :
- une baguette à spirale (le mikado, qui vaut 20 points) ;
- 5 baguettes bleu/rouge/bleu (10 points chacune) ;
- 5 baguettes rouge/bleu/rouge/bleu/rouge (5 points chacune) ;
- 15 baguettes rouge/jaune/bleu (3 points chacune) ;
- 15 baguettes bleu/rouge (2 points chacune).
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1
Quelle baguette est-il le moins probable de choisir ?2
On s'intéresse à la valeur de la baguette.a. Quelle est la probabilité de l'événement « Choisir la baguette valant 20 points » ?
b. Que peut-on dire de l'événement « Choisir une baguette valant 30 points » ? En déduire sa probabilité.
c. Quelle est la probabilité de l'événement « Choisir une baguette valant exactement 10 points » ?
d. Quelle est la probabilité de l'événement « Choisir une baguette valant au moins 5 points » ?
Bilan
Quelle formule peut-on conjecturer concernant la probabilité d'un événement \text {A} ?
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Activité 2Tout et son contraire !
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On dispose d'un jeu de Scrabble®. Il est composé de 102 jetons tous indiscernables au toucher :
- 2 jokers qui ne rapportent aucun point ;
- les 100 autres jetons représentent les 26 lettres de l'alphabet, réparties de la manière suivante.
| A1 | B3 | C3 | D2 | E1 | F4 | G2 | H4 | I1 | J8 | K10 | L1 | M2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 9 | 2 | 2 | 3 | 15 | 2 | 2 | 2 | 8 | 1 | 1 | 5 | 3 |
| N1 | O1 | P3 | Q8 | R1 | S1 | T1 | U1 | V4 | W10 | X10 | Y10 | Z10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6 | 6 | 2 | 1 | 6 | 6 | 6 | 6 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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On peut déduire de ce tableau, par exemple :
b. Est-il possible de trouver une issue qui ne soit ni dans l'événement \text {B} ni dans l'événement \text {C} ? On dit alors que les deux événements \text {B} et \text {C} sont des événements contraires.
c. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{C}).
d. À la probabilité de quel événement la valeur obtenue correspond-elle ?
En justifiant, déterminer un événement contraire à l'événement \text {A}. En déduire sa probabilité en fonction de celle de \text {A}.
- que trois jetons portent la lettre D et rapportent chacun 2 points ;
- que 15 jetons portent la lettre E et rapportent chacun 1 point.
- \text {A} : « Le jeton rapporte 4 points ou plus » ;
- \text {B} : « Le jeton est celui d'une voyelle » ;
- \text {C} : « Le jeton est celui d'une consonne ou d'un joker ».
1
Calculer la probabilité des événements \text {A}, \text {B} et \text {C}.Coup de pouce
On utilisera la formule \mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{\text { nombre d'issues favorables à l'événement A }}{\text { nombre total d'issues }}.
2
Est-il possible de trouver une issue qui soit à la fois dans l'événement \text {A} et dans l'événement \text {B} ? Justifier.3
a. Est-il possible de trouver une issue qui soit en même temps dans l'événement \text {B} et dans l'événement \text {C} ? Justifier.
b. Est-il possible de trouver une issue qui ne soit ni dans l'événement \text {B} ni dans l'événement \text {C} ? On dit alors que les deux événements \text {B} et \text {C} sont des événements contraires.
c. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{C}).
d. À la probabilité de quel événement la valeur obtenue correspond-elle ?
Bilan
En justifiant, déterminer un événement contraire à l'événement \text {A}. En déduire sa probabilité en fonction de celle de \text {A}.
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