Mathématiques 4e - 2022

La première grande civilisation à avoir utilisé les fractions est l'Égypte antique. Les Égyptiens utilisaient des fractions de numérateur \text{1}, à l'exception de \frac{2}{3}.
Mathématiquement, on peut prouver que tout nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'une somme d'un nombre entier et de fractions de numérateur \text{1}. Pour noter ces fractions, ils utilisaient la décomposition de l'œil du dieu Horus, ou tout simplement leurs nombres surmontés du symbole

Par exemple, \text{20} se notait

donc \frac{1}{20} se notait

$hiéroglyphe fraction$

. Les Égyptiens, pour répondre à leurs problèmes de partage ou de division, devaient connaître des tables qui donnaient cette décomposition.

On trouve, par exemple, dans le papyrus de Rhind, les décompositions

\frac{2}{5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15} ou \frac{2}{7}=\frac{1}{4}+\frac{1}{28} ou encore \frac{2}{13}=\frac{1}{8}+\frac{1}{52}+\frac{1}{104} .

Dans d'autres papyrus, on peut trouver différentes décompositions de \frac{2}{45} (qui en possède \text{1967}) telles que :

\frac{2}{45}=\frac{1}{25}+\frac{1}{225} ou \frac{2}{45}=\frac{1}{30}+\frac{1}{90} ou encore \frac{2}{45}=\frac{1}{36}+\frac{1}{60}.

On utilisait la décomposition la plus pratique en fonction du problème à résoudre.

Dans un rouleau de cuir, on a trouvé la décomposition :

\frac{3}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}.

Inventer une histoire de partage qui pourrait illustrer cette décomposition. Après avoir étudié le chapitre, vérifier que les décompositions ci-dessus sont bien correctes.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Activité 1
À la recherche de points communs

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Objectif

Réduire des fractions au même dénominateur dans le cas général.

Voir cours 1.B p. 40

Voir cours 2 p. 42

1
Calculer, puis simplifier, si possible, les expressions suivantes.
a. \text{A}=\frac{5}{3}-\frac{1}{3}

b. \text{B}=\frac{5}{2}+\frac{4}{8}

c. \text{C}=5-\frac{3}{4}

2
Le professeur de mathématiques de Mathis lui demande de calculer la somme \text{D}=\frac{2}{3}+\frac{1}{7}.
Quelle distinction peut-on faire entre les dénominateurs de \text{D} et ceux de la question 1 ?

3
a. Dresser les listes des multiples de \text{3} et de \text{7} jusqu'à trouver leur plus petit multiple commun.

b. Utiliser ce multiple commun pour réduire les fractions \frac{2}{3} et \frac{1}{7} au même dénominateur, puis calculer \text{D}.

4
Calculer les expressions \mathrm{E}=\frac{3}{5}-\frac{7}{8} et \mathrm{F}=\frac{4}{6}+\frac{7}{4}.

Bilan

Comment réduire deux fractions au même dénominateur dans tous les cas ?

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Activité 2
Le crible d'Ératosthène

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Objectif

Dresser la liste des nombres premiers compris entre \text{1} et \text{100}.

Voir cours 3 p. 42

1
Dans un tableau de \text{10} lignes et \text{10} colonnes, écrire tous les nombres entiers de \text{1} à \text{100} en commençant par la case en haut à gauche et en complétant ligne par ligne.

2
Barrer le nombre \text{1}.

3
Entourer le nombre \text{2} dans le tableau puis barrer tous ses multiples.

4
Entourer le nombre \text{3} puis barrer tous ses multiples.

5
Entourer le prochain nombre qui n'a pas été barré puis barrer tous ses multiples.

6
Procéder ainsi jusqu'au nombre \text{10} puis entourer tous les nombres restant qui n'ont pas été barrés.

Peinture Ératosthène enseignant à Alexandie de Bernardo Strozzi

Bernardo Strozzi, Ératosthène enseignant à Alexandrie, vers 1635.

Remarque

Cette technique a été mise au point par Ératosthène, un mathématicien grec de l'Antiquité.

Bilan

Quelle propriété ont en commun les nombres qui ont été entourés ? Pourquoi a-t-on barré le \text{1} au début et ne l'a-t-on pas entouré ?

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Activité 3
Une décomposition bien pratique

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Objectif

Utiliser les nombres premiers pour simplifier une fraction.

Voir cours 3 p. 42

1
Simplifier au maximum les fractions suivantes : \text{A}=\frac{24}{16} ; \text{B}=\frac{27}{21} ; \text{C}=\frac{120}{15} et \text{D}=\frac{72}{81}.

2
Le professeur de Johanie lui demande de simplifier la fraction \frac{1575}{2475}. Simplifier cette fraction en utilisant des diviseurs communs à \text{1 575} et \text{2 475}. Que peut-on penser de cette méthode ?

3
\text{1 575} peut s'écrire sous la forme 5 \times 315. De même, on pourrait décomposer \text{315} comme un produit de deux facteurs plus petits. Recopier et compléter l'égalité 1575=5 \times 5 \times \ldots, puis continuer à décomposer tous les facteurs jusqu'à n'avoir que des nombres premiers. L'écriture obtenue s'appelle la décomposition en produit de facteurs premiers.

4
En utilisant la même méthode, décomposer en produit de facteurs premiers le nombre \text{2 475}.

Bilan

Expliquer comment on peut utiliser ces décompositions pour obtenir la forme la plus simplifiée possible de la fraction \frac{1575}{2475} et rédiger une méthode générale.

Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

j'ai une idée !

Oups, une coquille

Utilisation des cookies

Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.

Mathématiques 4e - 2022

Addition et soustraction de nombres rationnels

Histoire des maths

Les fractions égyptiennes

Activité 1À la recherche de points communs

Activité 2Le crible d'Ératosthène

Activité 3Une décomposition bien pratique

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Activité 1
À la recherche de points communs

Activité 2
Le crible d'Ératosthène

Activité 3
Une décomposition bien pratique