1. Calculer les sommes
\mathrm{D}=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3} et \mathrm{E}=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}.

2. En se basant sur le modèle de la question 1, compléter l'égalité suivante.
\frac{4}{5}=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{\ldots \times \ldots}

3. Décomposer alors la fraction \frac{5}{6} sous la forme d'une somme de fractions ayant toutes pour numérateur le nombre \text{1}.

4. Même question pour la fraction \frac{9}{10}.

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91
[Ch.2 - Cal.1 - Cal.4 - Com.1]

On donne les fractions \frac{4}{7}, \frac{-4}{3}, \frac{3}{5} et \frac{11}{9}.
Avec deux fractions différentes de cette liste, calculer :

1. la plus grande somme possible.

2. la plus petite différence possible.

3. la plus petite somme possible.

4. la plus grande différence possible.

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92
[Mod.1 - Ch.1 - Cal.5]

D'après Brevet, Métropole-Réunion, juin 2019
Le capitaine d'un navire possède un trésor constitué de \text{69} diamants, \text{1~150} perles et \text{4~140} pièces d'or.

1. Décomposer \text{69}, \text{1~150} et \text{4~140} en produit de facteurs premiers.

2. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins. Combien y a‑t‑il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués et que le capitaine n'est pas tout seul sur le bateau ?

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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93
[Ch.3 - Rais.5 - Cal.1 - Cal.4]

On considère ce programme de calcul.

\boxed{ \begin{array} { r|l } 1 & \text{Choisir un nombre} \\\\ 2 & \text{Ajouter}~\frac{1}{30} \\\\ 3 & \text{Ajouter}~\frac{1}{6} \\\\ 4 & \text{Soustraire } \frac{1}{5} \\ \end{array} }

1. Montrer que si on choisit \frac{1}{3} au départ, on obtient \frac{1}{3}.

2. Calculer le nombre que l'on obtient en choisissant \frac{-5}{2}.

3. Que peut-on conjecturer ?

4. Démontrer cette conjecture quel que soit le nombre de départ choisi.

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94
[Ch.1 - Cal.1 - Cal.4]

À l'aide des différents indices fournis, compléter les cases cliquables du « nombre-croisé » ci-dessous.

	I	II	III	IV
A
B
C
D

Indices :

Les nombres sur la diagonale ne contenant que des cases blanches sont les quatre plus petits nombres premiers, dans l'ordre croissant, de haut en bas.

A : Le seul nombre premier à deux chiffres de la décomposition en produit de facteurs premiers de \text{510}.

D : Le numérateur de la différence la plus simplifiée de \frac{5}{3} et \frac{5}{8}.

I : Le numérateur de la somme la plus simplifiée de \frac{3}{4} et \frac{1}{3}.

IV : Le plus petit dénominateur commun aux fractions \frac{4}{7} et \frac{7}{5}.

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95
[Cal.1 - Cal.4 - Cal.5 - Rep.1]

Le but de cet exercice est de donner le résultat de la somme {\text{A}=\frac{1~242}{690}+\frac{15}{25}} sous la forme la plus simple possible.

1. Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres \text{1~242} et \text{690}.

2. En déduire une simplification de la fraction \frac{1~242}{690}.

3. Calculer \text{A} et donner le résultat sous la forme la plus simple possible.

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96
[Mod.1 - Ch.1 - Cal.5]

1. Décomposer les nombres \text{126} et \text{90} en produits de facteurs premiers.

2. Déterminer deux diviseurs communs aux nombres \text{126} et \text{90} plus grands que \text{8}.

3. Un professeur organise une sortie pédagogique au Futuroscope pour ses élèves. Il veut répartir \text{126} garçons et \text{90} filles par groupes. Il souhaite que chaque groupe comporte le même nombre de filles et le même nombre de garçons.
a. Le professeur peut-il réaliser \text{15} groupes ?

b. Quel nombre maximal de groupes pourra-t-il réaliser ?

c. Dans ce cas, combien y aura-t-il de garçons et de filles dans chaque groupe ?

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97
[Mod.1 - Rais.4 - Cal.5]

D'après Brevet, Nouvelle-Calédonie, décembre 2020

1. Justifier que le nombre \text{102} est divisible par \text{3}.

2. La décomposition en produit de facteurs premiers de \text{85} est 85=5 \times 17. Décomposer \text{102} en produit de facteurs premiers.

3. Donner trois diviseurs non premiers du nombre \text{102}.

Un libraire dispose d'une feuille cartonnée de \text{85~cm} sur \text{102~cm}. Il souhaite découper dans celle-ci, en utilisant toute la feuille, des étiquettes carrées. Les côtés de ces étiquettes ont tous la même mesure.

4. Les étiquettes peuvent-elles être des carrés de \text{34~cm} de côté ? Justifier.

5. Le libraire découpe des étiquettes de \text{17~cm} de côté. Combien d'étiquettes pourra-t-il découper dans ce cas ? Justifier.

Photo de l'intérieur d'une librairie, des étagères et tables sont remplies de livres.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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Club de Maths

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98
Casse-tête

Recopier et compléter les égalités suivantes.

1. \frac{5}{6}+\frac{\cdots}{3}=\frac{3}{2}

2. \frac{\ldots}{4}-\frac{5}{6}=\frac{-1}{12}

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99
Casse-tête

Recopier et compléter les égalités suivantes avec les signes \text{+} ou -.

1. \frac{1}{2} \ldots \frac{1}{3} \ldots \frac{1}{4}=\frac{7}{12}

2. \frac{1}{5} \ldots \frac{3}{10} \ldots \frac{4}{15}=\frac{1}{6}

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100
Énigme

Ce trimestre, Waël a eu trois contrôles de mathématiques et, lorsqu'il calcule sa moyenne, sa calculatrice lui affiche \text{12,66666666667}.

Quelle note doit-il avoir au quatrième contrôle pour avoir précisément \text{14} de moyenne à la suite de ce contrôle ?

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