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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 1
Cours 1
Définitions
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ANotions de fonction, d'image et d'antécédents
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Définition
Définir une fonction f sur un
ensemble de réels \text{D} consiste à associer à chaque réel x \in \text{D} un unique réel y.
Pour signifier que y est le réel associé à x par la fonction f on note : y = f(x).
On note cette correspondance :
\begin{aligned} f :\, & \mathrm{D} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x) \end{aligned}
Pour signifier que y est le réel associé à x par la fonction f on note : y = f(x).
On note cette correspondance :
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On peut nommer une fonction par d'autres lettres que f (g , a , u , etc.\text{)}.
La variable x peut aussi être remplacée par d'autres (t, l, etc.\text{)} selon le contexte d'étude
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À un nombre x \in \text{D}, on associe un (et un seul) nombre y.
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Définitions
• \text{D} est appelé l'ensemble de définition de f : il s'agit donc de l'ensemble des réels
x ayant un réel y associé par f.
• y est appelé l'image de x par f.
• On dit que x est un antécédent de y par f.
• y est appelé l'image de x par f.
• On dit que x est un antécédent de y par f.
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Un nombre y \in \mathbb{R} peut être associé à un ou plusieurs nombres x \in \text{D}, ou à aucun.
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Exemple
On observe la température d'une pièce pendant 24 heures. À chaque instant t de la journée correspond donc une température unique, notée f(t). La fonction f est donc définie sur \text{D} = [0\: ; 24].
Les températures atteintes plusieurs fois dans la journée ont plusieurs antécédents (la température 20 °C peut être atteinte à plusieurs moments de la journée).
Les températures atteintes plusieurs fois dans la journée ont plusieurs antécédents (la température 20 °C peut être atteinte à plusieurs moments de la journée).
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Application et méthode
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Énoncé
Un élève entre un nombre à la calculatrice puis il appuie sur la touche [ x^2].
1. Justifier que cela revient à définir une fonction f que l'on précisera.
2. Par cette fonction f, déterminer
a. l'image de 0 et ses éventuels antécédents ;
b. l'image de 2 et ses éventuels an técédents ;
c. l'image de -1 et ses éventuels antécédents.
1. Justifier que cela revient à définir une fonction f que l'on précisera.
2. Par cette fonction f, déterminer
a. l'image de 0 et ses éventuels antécédents ;
b. l'image de 2 et ses éventuels an técédents ;
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1. Pour s'assurer que l'on a une fonction, bien vérifier qu'à une valeur de x est associée une seule valeur de f(x).
2. La relation f(x) = x^2 permet de calculer les images de x : pour cela on remplace x par sa valeur dans cette relation. Pour les éventuels antécédents d'un nombre y, il faut résoudre l'équation f(x)=y.
2. La relation f(x) = x^2 permet de calculer les images de x : pour cela on remplace x par sa valeur dans cette relation. Pour les éventuels antécédents d'un nombre y, il faut résoudre l'équation f(x)=y.
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Solution
1. À chaque réel x, on associe le réel x^2.
On définit donc la fonction f : x \rightarrow f(x)=x^{2}.
2. a. L'image de 0 est f(0)=0^{2}=0. Les antécédents de 0 sont les réels x tels que x^2 = 0 soit x = 0.
b. L'image de 2 est f(2)=2^{2}=4. Les antécédents de 2 sont les réels x tels que x^2 = 2 : les antécédents sont donc \sqrt{2} et -\sqrt{2}.
c. L'image de -1 est f(-1)=(-1)^{2}=1. Les antécédents de -1 sont les réels x tels que {x^2 = -1} : cette équation n'a pas de solution réelle donc -1 n'a pas d'antécédent par la fonction f.
On définit donc la fonction f : x \rightarrow f(x)=x^{2}.
2. a. L'image de 0 est f(0)=0^{2}=0. Les antécédents de 0 sont les réels x tels que x^2 = 0 soit x = 0.
b. L'image de 2 est f(2)=2^{2}=4. Les antécédents de 2 sont les réels x tels que x^2 = 2 : les antécédents sont donc \sqrt{2} et -\sqrt{2}.
c. L'image de -1 est f(-1)=(-1)^{2}=1. Les antécédents de -1 sont les réels x tels que {x^2 = -1} : cette équation n'a pas de solution réelle donc -1 n'a pas d'antécédent par la fonction f.
Pour s'entraîner
Exercices , p. 54
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BTrois modes de définition d'une fonction
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Définition
Il y a trois principaux modes de définition d'une fonction f permettant d'associer à un réel x, de l'ensemble de définition \text{D}, son image y.
1. Avec une relation algébrique : on connaît directement l'expression de f(x) en fonction de x. Par exemple, la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x) = x^2 + x + 1.
2. Avec un tableau de valeurs : on donne explicitement les images associées à différentes valeurs de x. Par exemple, ici, g(-1) = 0 et 2 admet pour antécédents 0 et 10.
1. Avec une relation algébrique : on connaît directement l'expression de f(x) en fonction de x. Par exemple, la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x) = x^2 + x + 1.
2. Avec un tableau de valeurs : on donne explicitement les images associées à différentes valeurs de x. Par exemple, ici, g(-1) = 0 et 2 admet pour antécédents 0 et 10.
| x | -1 | 0 | 5 | 10 |
| g(x) | 0 | 2 | 3 | 2 |
3. Avec une courbe : la courbe représentative d'une fonction h est l'ensemble des points \text{A}(x\:;y) tels que y = h(x).
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1. Ce mode de définition permet le calcul exact de l'image y de toute valeur de x de l'ensemble de définition.
2. Ce mode de définition ne permet de déterminer qu'un nombre fini d'images.
3. Ce mode de définition est limité par la précision permise par la lecture graphique des coordonnées des points.
2. Ce mode de définition ne permet de déterminer qu'un nombre fini d'images.
3. Ce mode de définition est limité par la précision permise par la lecture graphique des coordonnées des points.
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EXCLU. PREMIUM 2023
Modifier les antécédents dans le tableau de valeurs pour modifier la position des points sur la courbe de la fonction f.
GeoGebra
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Comparaison des trois modes de définitions
- Une formule permet toujours de calculer une image, ce qui permet d'avoir une description complète de la fonction, contrairement aux courbes et aux tableaux. En revanche, il n'est pas toujours facile de calculer des antécédents.
- Un tableau de valeurs ne définit une fonction que sur un intervalle discret (on ne connaît qu'un nombre fini de valeurs). Ainsi, on ne connaît pas de formule générale et la courbe sera tracée par extension probable.
- Une courbe donne une représentation explicite et complète d'une fonction sur un intervalle. Elle permet donc des lectures d'images (sur l'ensemble où elle est tracée), mais seulement avec la précision permise par le graphique et ne permet pas, a priori, de trouver une formule générale.
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Application et méthode
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Énoncé
On considère la fonction f définie sur \text{D} = [-2 ; 7] par f(x) = 6x - x^2.1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| f(x) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
2. Utiliser ce tableau pour tracer la courbe représentative de f.
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1. Utiliser l'expression f(x)=6 x-x^{2}pour
remplir les cases du tableau.
2. Placer les points de coordonnées (x ; f(x)) et les relier suivant « l'aspect » global (pas de segments). Pour avoir une plus grande précision, il faudrait calculer davantage de coordonnées.
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Solution
1.
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| f(x) | -7 | 0 | 5 | 8 | 9 | 8 | 5 | 0 | -7 |
2.
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CParité
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Soit f une fonction définie sur un intervalle I centré en 0.
On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
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Définition
On dit que f est :
• paire lorsque, pour tout x \in I , {f(-x) = f(x)} ;
• impaire lorsque, pour tout x \in I, {f(-x) = -f(x)}.
• paire lorsque, pour tout x \in I , {f(-x) = f(x)} ;
• impaire lorsque, pour tout x \in I, {f(-x) = -f(x)}.
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I est centré en 0 signifie que si {x \in I} alors {-x \in I}.
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Propriété
• f est paire si, et seulement si, C_f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• f est impaire si, et seulement si, C_f est symétrique par rapport à l'origine du repère.
• f est impaire si, et seulement si, C_f est symétrique par rapport à l'origine du repère.
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EXCLU. PREMIUM 2023
GeoGebra
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Application et méthode
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Énoncé
On a représenté dans le repère orthogonal ci-après la courbe représentative d'une fonction f sur l'intervalle [0 ; 2].
Reproduire ce repère et compléter la courbe de f sur l'intervalle [-2 ; 2] pour que la fonction f :1. soit paire ;
2. soit impaire.
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1. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
2. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
Remarque : Il faut veiller à ce que l'intervalle soit bien centré en 0, ce qui est le cas pour l'intervalle [-2 ; 2].
2. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
Remarque : Il faut veiller à ce que l'intervalle soit bien centré en 0, ce qui est le cas pour l'intervalle [-2 ; 2].
Pour s'entraîner
Exercices et p. 55
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Solution
1. On a représenté en bleu la partie manquante pour que f soit une fonction paire sur [-2 ; 2].
2. On a représenté en rouge la partie manquante pour que f soit une fonction impaire sur [-2 ; 2].
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