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Chapitre 1
Cours 2
Résolution graphique d'équations du type {f(x)=k } et {f(x)=g(x)}
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ARésolution graphique d'équations du type {f(x)=k}
C_f et C_g sont respectivement les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal.
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Définition
Soient f une fonction définie sur un ensemble D et k un réel fixé. Résoudre l'équation f(x) = k :
=> consiste à déterminer tous les réels x de D qui ont pour image k ;
=> revient donc à déterminer l'ensemble des antécédents de k par f.
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Propriété
Graphiquement, les solutions de f(x) = k sont les abscisses de tous les points de C_f ayant pour ordonnée k.
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Démonstration
C_f est l'ensemble des points M de coordonnées (x\text{ } ; f(x)). Or, on cherche lesvaleurs de x telles que f(x) = k. On cherche donc les points C_f de coordonnées (x\text{ } ; k) et les solutions sont les abscisses de ces points.
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Exemple
On considère la représentation graphique d'une fonction f définie sur [-2 \: ; 1].
L'équation f(x) = -1{,}5 n'admet pas de solution.
L'équation f(x) = 2 admet une unique solution ( x \approx 0{,}7 ), tout comme l'équation f(x) = -1 (dans ce cas, x = -1 ).
L'équation f(x) = -0{,}5 admet deux solutions (approximativement -1{,}7 et -0{,}3).
L'équation f(x) = 2 admet une unique solution ( x \approx 0{,}7 ), tout comme l'équation f(x) = -1 (dans ce cas, x = -1 ).
L'équation f(x) = -0{,}5 admet deux solutions (approximativement -1{,}7 et -0{,}3).
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Les solutions sont souvent notées sous la forme S=\left\{x_{1} ; x_{2} ; \ldots\right\}
Lorsqu'il n'y a pas de solution, S est l'ensemble vide : S = \emptyset.
Lorsqu'il n'y a pas de solution, S est l'ensemble vide : S = \emptyset.
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EXCLU. PREMIUM 2023
Déplacez le curseur pour modifier la valeur de k dans l'équation f \left(x \right) = k.
GeoGebra
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Application et méthode
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Énoncé
On reprend l'exemple ci-dessus. On admet que f(x) = x^2 + 2x.
1. Résoudre graphiquement f(x) = -1 ; f(x) = 0 ; f(x) = 2 et vérifier si ces solutions sont des valeurs exactes en calculant des images.
2. Comment peut-on, sans recours à la courbe, retrouver ces solutions pour f(x) = 0 ?
1. Résoudre graphiquement f(x) = -1 ; f(x) = 0 ; f(x) = 2 et vérifier si ces solutions sont des valeurs exactes en calculant des images.
2. Comment peut-on, sans recours à la courbe, retrouver ces solutions pour f(x) = 0 ?
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1. Le calcul des images permet de vérifier l'exactitude ou l'approximation des antécédents lus.
2. Une méthode exacte consiste à résoudre l'équation f(x) = k (ici k = 0). Cela donne le nombre exact et les valeurs exactes des antécédents. Toutefois, cette méthode n'est pas toujours applicable selon la difficulté de l'expression.
2. Une méthode exacte consiste à résoudre l'équation f(x) = k (ici k = 0). Cela donne le nombre exact et les valeurs exactes des antécédents. Toutefois, cette méthode n'est pas toujours applicable selon la difficulté de l'expression.
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Solution
1. Graphiquement, on trouve :
f(x) = -1 \Leftrightarrow x = -1 ;
f(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2 ou x = 0 ;
f(x) = 2 \Leftrightarrow x = 0{,}7.
On vérifie par le calcul :
f(-1)=(-1)^{2}+2 \times(-1)=-1 ;
f(-2)=(-2)^{2}+2 \times(-2)=0 ;
f(0)=0^{2}+2 \times 0=0.
Les solutions lues sont donc exactes.
f(0{,}7)=0{,}7^{2}+2 \times 0{,}7=1{,}89 : la solution lue est une valeur approchée.
f(x) = -1 \Leftrightarrow x = -1 ;
f(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2 ou x = 0 ;
f(x) = 2 \Leftrightarrow x = 0{,}7.
On vérifie par le calcul :
f(-1)=(-1)^{2}+2 \times(-1)=-1 ;
f(-2)=(-2)^{2}+2 \times(-2)=0 ;
f(0)=0^{2}+2 \times 0=0.
Les solutions lues sont donc exactes.
f(0{,}7)=0{,}7^{2}+2 \times 0{,}7=1{,}89 : la solution lue est une valeur approchée.
2. f(x)=0
\Leftrightarrow x^{2}+2 x=0
\Leftrightarrow x(x+2)=0
\Leftrightarrow x=0 \text { ou } x+2=0.
Les solutions de f(x) = 0 sont donc -2 et 0 comme on l'avait déterminé précédemment.
\Leftrightarrow x^{2}+2 x=0
\Leftrightarrow x(x+2)=0
\Leftrightarrow x=0 \text { ou } x+2=0.
Les solutions de f(x) = 0 sont donc -2 et 0 comme on l'avait déterminé précédemment.
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BRésolution graphique d'équations du type {f(x)=g(x)}
C_f et C_g sont respectivement les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal.
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Définition
Soient f et g deux fonctions définies sur un ensemble D.
Résoudre l'équation f(x) = g(x) consiste à déterminer tous les réels x de D qui ont la même image par f et par g.
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Propriété
Graphiquement, les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de f et de g.
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Démonstration
Par définition, C_f est l'ensemble des points M (x ; f(x)) et C_g est l'ensemble des points N(x; g(x)) pour x \in D.
Soit \text{P}, un point de C_f d'abscisse x telle que f(x)=g(x).
Puisque \text{P} \in C_f, alors ses coordonnées sont (x ; f(x)).
Et puisque f(x)=g(x), alors ses coordonnées s'écrivent aussi (x ; g(x)).
On en déduit que \text{P} est aussi un point de C_g donc \text{P} est un point d'intersection de C_f et C_g .
Soit \text{P}, un point de C_f d'abscisse x telle que f(x)=g(x).
Puisque \text{P} \in C_f, alors ses coordonnées sont (x ; f(x)).
Et puisque f(x)=g(x), alors ses coordonnées s'écrivent aussi (x ; g(x)).
On en déduit que \text{P} est aussi un point de C_g donc \text{P} est un point d'intersection de C_f et C_g .
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Exemple
ci-contre. Ces courbes ont exactement trois intersections \text{A}, \text{B} et \text{C} d'abscisses respectives -1{,}5 ; 0 et 2.
L'ensemble des solutions de l'équation {f(x)=g(x)} est donc {\mathrm{S}=\{-1{,}5\: ; 0\: ; 2\}} .
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Application et méthode
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Énoncé
On reprend l'exemple précédent. f et g sont définies sur \mathbb{R} par f(x)=x^{2}-2 et g(x) = 2x^3 - 6x - 2 .
Les solutions lues de f(x) = g(x) sont-elles exactes ?
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Solution
On vérifie par le calcul que f(-1\text{,}5) = g(-1\text{,}5) = 0\text{,}25 ;
f(0) = g(0) = -2 et f(2) = g(2) = 2
f(0) = g(0) = -2 et f(2) = g(2) = 2
Pour s'entraîner
Exercices , et p. 60
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1. La lecture graphique peut permettre de trouver des solutions de façon exacte, mais cela n'est pas toujours possible de façon générale.
2. Une méthode rigoureuse consisterait à résoudre algébriquement f(x) = g(x) mais ce n'est pas toujours possible.
2. Une méthode rigoureuse consisterait à résoudre algébriquement f(x) = g(x) mais ce n'est pas toujours possible.
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