Mathématiques 2de
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64
[Modéliser.]
On donne ci-dessous le relevé de consommation en carburant d'une voiture à boîte automatique à 5 vitesses (numérotées de 1 à 5 sur le graphique).
1. Déterminer la consommation en carburant lorsqu'une voiture roule à 30 km/h, 50 km/h, 80 km/h et 130 km/h.
2. À quelles vitesses la voiture consomme-t-elle : 5 L/100 km ? 6 L/100 km ? 6,5 L/100 km ?
3. Une conductrice fait le plein de carburant (réservoir de 70 L) et doit parcourir 1 200 km sur autoroute.
a. Si elle roule à la vitesse constante de 130 km/h, aura-t-elle assez de carburant ?
b. Si elle roule à vitesse constante, à quelle vitesse peut-elle rouler au maximum pour ne pas tomber en panne ?
2. À quelles vitesses la voiture consomme-t-elle : 5 L/100 km ? 6 L/100 km ? 6,5 L/100 km ?
3. Une conductrice fait le plein de carburant (réservoir de 70 L) et doit parcourir 1 200 km sur autoroute.
a. Si elle roule à la vitesse constante de 130 km/h, aura-t-elle assez de carburant ?
b. Si elle roule à vitesse constante, à quelle vitesse peut-elle rouler au maximum pour ne pas tomber en panne ?
4. La conductrice se déplace entre les bornes \text{A} et \text{D} sur autoroute à une vitesse constante de 130 km/h. Cependant, entre les bornes \text{B} et \text{C}, la vitesse est limitée à 90 km/h.
On note x la distance parcourue en km et f(x) le volume de carburant consommé. On a représenté ci-dessous la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
a. En utilisant les points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} placés sur cette courbe, retrouver les consommations correspondant aux vitesses de 130 km/h et 90 km/h.
b. Si la voiture contient 30 L d'essence au départ de \text{A}, la conductrice pourra-t-elle arriver en \text{D} sans avoir à remettre de l'essence ?
c. Pour éviter de se retrouver en panne, la conductrice décide de se ravitailler lorsqu'il lui reste 15 L dans son réservoir : à quelle distance de \text{D} devra-t-elle se ravitailler ?
On note x la distance parcourue en km et f(x) le volume de carburant consommé. On a représenté ci-dessous la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
b. Si la voiture contient 30 L d'essence au départ de \text{A}, la conductrice pourra-t-elle arriver en \text{D} sans avoir à remettre de l'essence ?
c. Pour éviter de se retrouver en panne, la conductrice décide de se ravitailler lorsqu'il lui reste 15 L dans son réservoir : à quelle distance de \text{D} devra-t-elle se ravitailler ?
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[Représenter.] La partie inscriptible d'un CD audio est une couronne de rayons 25 et 55 mm. Un faisceau laser lit la musique en allant de l'intérieur de cette couronne vers l'extérieur.
On note x la distance en millimètre du laser au bord du cercle intérieur après lecture d'une partie de la musique.
1. À quel intervalle \text{I} appartient x ?
2. a. Justifier que l'aire \mathrm{S}(x) de la couronne de largeur x est égale à \mathrm{S}(x)=\pi(25+x)^{2}-\pi \times 25^{2}. En déduire que, pour tout x \in \mathrm{I}, \mathrm{S}(x)=\pi x^{2}+50 \pi x.
b. Calculer \mathrm{S}(0) : ce résultat est-il prévisible ?
c. Montrer que \mathrm{S}(30)=2\,400 \pi et interpréter le résultat.
2. a. Justifier que l'aire \mathrm{S}(x) de la couronne de largeur x est égale à \mathrm{S}(x)=\pi(25+x)^{2}-\pi \times 25^{2}. En déduire que, pour tout x \in \mathrm{I}, \mathrm{S}(x)=\pi x^{2}+50 \pi x.
b. Calculer \mathrm{S}(0) : ce résultat est-il prévisible ?
c. Montrer que \mathrm{S}(30)=2\,400 \pi et interpréter le résultat.
3. D'un bord de la couronne à l'autre, le CD contient 80 min de musique. Sachant que la durée en minute de lecture audio \mathrm{D}(x) est proportionnelle à l'aire \mathrm{S}(x), on peut montrer que, pour tout x \in[0 \:; 30], \mathrm{D}(x)=80 \times \dfrac{\mathrm{S}(x)}{\mathrm{S}(30)}=\dfrac{1}{30}\left(x^{2}+50 x\right).
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de \text{D} sur [0\:; 30].
Par lecture graphique :
a. Déterminer la durée de lecture à mi-distance : a-t-on atteint la moitié de la durée totale ?
b. Pour quelle valeur de x le CD a-t-il été à moitié lu ?
c. La piste d'un morceau de musique commence à la 20e minute et dure 10 minutes : préciser les valeurs de x de début et de fin du morceau.
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de \text{D} sur [0\:; 30].
Par lecture graphique :
a. Déterminer la durée de lecture à mi-distance : a-t-on atteint la moitié de la durée totale ?
b. Pour quelle valeur de x le CD a-t-il été à moitié lu ?
c. La piste d'un morceau de musique commence à la 20e minute et dure 10 minutes : préciser les valeurs de x de début et de fin du morceau.
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[Chercher.]
Un paysagiste souhaite planter trois types de fleurs \text{F}_1, \text{F}_2 et \text{F}_3 dans des carrés concentriques dont les dimensions sont données dans la figure ci-dessous.
On note f_1(x), f_2(x) et f_3(x) les trois aires correspondantes en fonction de x.
1. L'ensemble ne doit pas dépasser 80 m de large : à quel intervalle appartient x ?
2. On peut montrer que, pour tout x de cet intervalle, f_{1}(x)=x^{2} ; f_{2}(x)=34 x+289 et f_{3}(x)=16 x+336.
On a tracé dans un repère orthogonal les courbes représentatives des fonctions f_{1}, f_{2}, f_{3} sur [0 \: ;55].
a. Calculer f_1(0), f_2(0) et f_3(0) puis identifier les courbes associées à chacune de ces fonctions.
b. Le paysagiste souhaite planter 1 200 m2 de fleurs \text{F}_1 : déterminer graphiquement l'aire des autres fleurs.
2. On peut montrer que, pour tout x de cet intervalle, f_{1}(x)=x^{2} ; f_{2}(x)=34 x+289 et f_{3}(x)=16 x+336.
On a tracé dans un repère orthogonal les courbes représentatives des fonctions f_{1}, f_{2}, f_{3} sur [0 \: ;55].
a. Calculer f_1(0), f_2(0) et f_3(0) puis identifier les courbes associées à chacune de ces fonctions.
b. Le paysagiste souhaite planter 1 200 m2 de fleurs \text{F}_1 : déterminer graphiquement l'aire des autres fleurs.
3. a. Résoudre algébriquement f_{2}(x)=f_{3}(x) puis interpréter.
b. Résoudre graphiquement f_{1}(x)=f_{3}(x). Comment vérifier le résultat par le calcul ?
c. Pour quelle valeur de x l'aire du terrain contenant les fleurs \text{F}_1 est-elle identique à l'aire du terrain contenant les fleurs \text{F}_2 \:?
b. Résoudre graphiquement f_{1}(x)=f_{3}(x). Comment vérifier le résultat par le calcul ?
c. Pour quelle valeur de x l'aire du terrain contenant les fleurs \text{F}_1 est-elle identique à l'aire du terrain contenant les fleurs \text{F}_2 \:?
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67
[Représenter.]
On considère un rectangle \text{ABCD} inscrit dans un cercle de rayon 1. On note S l'aire de \text{ABCD} et P son périmètre. L'exercice vise à exprimer P et S suivant deux variables différentes : x = \text{AB} et \alpha=\widehat{\mathrm{BAC}}.
1. En utilisant la variable x :
a. À quel intervalle I appartient x ?
b. Montrer que, pour tout x \in I, \mathrm{BC}=\sqrt{4-x^{2}}.
c. En déduire que, pour tout x \in I, P(x)=2 x+2 \sqrt{4-x^{2}}.
2. En utilisant la variable \alpha :
a. À quel intervalle J appartient \alpha ?
b. En utilisant les formules de trigonométrie, montrer que, pour tout \alpha \in J, \mathrm{AB}=2 \cos (\alpha) et \mathrm{BC}=2 \sin (\alpha).
a. À quel intervalle I appartient x ?
b. Montrer que, pour tout x \in I, \mathrm{BC}=\sqrt{4-x^{2}}.
c. En déduire que, pour tout x \in I, P(x)=2 x+2 \sqrt{4-x^{2}}.
2. En utilisant la variable \alpha :
a. À quel intervalle J appartient \alpha ?
b. En utilisant les formules de trigonométrie, montrer que, pour tout \alpha \in J, \mathrm{AB}=2 \cos (\alpha) et \mathrm{BC}=2 \sin (\alpha).
c. En déduire que, pour tout \alpha \in J, S(\alpha)=4 \sin (\alpha) \cos (\alpha).
3. On suppose que \text{ABCD} est un carré.
a. Préciser la valeur de \alpha.
b. En déduire la valeur de S à l'aide de la calculatrice.
c. À l'aide de la valeur de S obtenue, montrer que le côté x de \text{ABCD} vaut \sqrt{2} et en déduire alors la valeur exacte de P.
3. On suppose que \text{ABCD} est un carré.
a. Préciser la valeur de \alpha.
b. En déduire la valeur de S à l'aide de la calculatrice.
c. À l'aide de la valeur de S obtenue, montrer que le côté x de \text{ABCD} vaut \sqrt{2} et en déduire alors la valeur exacte de P.
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68
[Représenter.] \text{ABCD} est un rectangle tel que \text{AB} = 6 et \text{AD} = 4 .
On trace un parallélogramme \text{EFGH} sur \text{ABCD} tel que \text{AG} = \text{BH} = \text{CE} = \text{DF} = x .
1. À quel intervalle I appartient x ?
2. Montrer que, pour tout x \in I, l'aire S(x) de \text{EFGH} est égale à S(x)=24-x(6-x)-x(4-x) puis que S(x)=24-10 x+2 x^{2}.
3. On donne la courbe représentative de S dans un repère orthogonal.
Déterminer graphiquement les valeurs de x telles que :
a. S(x)=12 (moitié de l'aire de \text{ABCD}) ;
2. Montrer que, pour tout x \in I, l'aire S(x) de \text{EFGH} est égale à S(x)=24-x(6-x)-x(4-x) puis que S(x)=24-10 x+2 x^{2}.
3. On donne la courbe représentative de S dans un repère orthogonal.
Déterminer graphiquement les valeurs de x telles que :
a. S(x)=12 (moitié de l'aire de \text{ABCD}) ;
b. S(x)=16 (deux tiers de l'aire de \text{ABCD}) ;
c. S(x)=11{,}5 . Vérifier ce dernier résultat par un calcul d'image.
4. En prenant le centimètre pour unité, tracer les différents parallélogrammes \text{EFGH} répondant aux points précédents.
5. À l'aide d'un tableau de valeurs obtenu à la calculatrice, donner une valeur approchée de x au dixième près telle que l'aire de \text{EFGH} soit égale aux trois quarts de l'aire de \text{ABCD}.
c. S(x)=11{,}5 . Vérifier ce dernier résultat par un calcul d'image.
4. En prenant le centimètre pour unité, tracer les différents parallélogrammes \text{EFGH} répondant aux points précédents.
5. À l'aide d'un tableau de valeurs obtenu à la calculatrice, donner une valeur approchée de x au dixième près telle que l'aire de \text{EFGH} soit égale aux trois quarts de l'aire de \text{ABCD}.
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69
[Chercher.]
\text{A} et \text{B} sont deux points fixes sur un cercle de diamètre \text{AA}'=2. \text{C} est un point mobile se déplaçant sur le cercle de \text{A} à \text{A}'. On note x la longueur \text{AC}.
On a tracé les courbes représentatives des fonctions a, b et c associant à x respectivement les angles \widehat{\text{A}}, \widehat{\text{B}} et \widehat{\text{C}} du triangle \text{ABC}.
1. Quel est l'ensemble de définition des fonctions a, b et c ?
2. Que constate-t-on concernant la fonction c ? Comment interpréter cela ?
3. Déterminer a(1) , b(1) et c(1) puis calculer a(1)+b(1)+c(1). Comment pouvait-on prévoir ce dernier résultat ?
2. Que constate-t-on concernant la fonction c ? Comment interpréter cela ?
3. Déterminer a(1) , b(1) et c(1) puis calculer a(1)+b(1)+c(1). Comment pouvait-on prévoir ce dernier résultat ?
4. Justifier et, le cas échéant, préciser les angles des
triangles correspondants. \text{ABC} peut-il être :
a. rectangle ?
b. isocèle ?
c. équilatéral ?
a. rectangle ?
b. isocèle ?
c. équilatéral ?
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Club de Maths
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70
Défi
Les trois demi-cercles ci-dessous ont pour diamètre les côtés d'un triangle rectangle.
Montrer que l'aire totale en rouge est égale à l'aire du triangle en bleu.
Histoire des maths
Ce résultat, appelé « quadrature des lunules », a été démontré par Hippocrate (460-377 av. J.-C.) et encouragea alors les mathématiciens à poursuivre la recherche d'un autre problème : la quadrature du cercle (tracer à la manière des Grecs, c'est-à-dire à la règle non graduée et au compas, un carré ayant la même aire qu'un disque de rayon donné). Aucun n'y parvint et il aura fallu attendre 1882 pour que Ferdinand von Lindemann démontre que ce problème était insoluble, mettant ainsi un terme à plus de deux millénaires d'efforts !
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71
Énigme
Pour chacun de ces quatre récipients, associer la courbe donnant le volume V de liquide en fonction de sa hauteur h dans le récipient.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
