Extrait d'une traduction arabe de l'Almagest de Ptolémée, IX^e siècle.

Le concept de fonction se rencontre dans toutes les disciplines scientifiques et dans les sciences humaines. Il représente initialement l'idée de mettre en relation différentes quantités. De nombreux exemples d'utilisation nous viennent de l'Antiquité : table de carrés, de racines carrées, d'inverses, de trigonométrie, table de cordes, éphémérides, etc. Ces objets servent à simplifier les calculs ou à aider à trouver sa position. Bien qu'ils soient de véritables tableaux de valeurs de fonctions, on ne peut pas encore réellement parler de conception fonctionnelle.

Table d'inverses, Uruk (Mésopotamie), 300 av. J.-C.

Au XIV^e siècle, Nicole Oresme exploite l'idée que les lois quantitatives de la nature s'appuient sur des relations fonctionnelles : une fonction peut alors aussi s'exprimer par une description de sa propriété ou par un graphe. Avec l'apport de Viète sur les notations littérales vient le temps des formules. Galilée exploite pleinement tous ces concepts pour l'étude des trajectoires. Descartes expose l'idée d'une relation fonctionnelle entre une grandeur x et une autre grandeur y qui dépend de x . Le premier à utiliser les mots « fonction » et « variable » est Leibniz dans La Méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions (1673). Dans Introductio in analysin infinitorum (1748), Euler définit la fonction d'une quantité variable comme une expression analytique constituée de cette quantité variable et de constantes. On lui doit, entre autres, la notation f(x) et l'étude systématique des fonctions élémentaires.
Après les apports de Cauchy et de Dirichlet et l'avènement de la théorie des ensembles, on peut définir une fonction comme étant une relation entre deux ensembles, pour laquelle chaque élément du premier est en relation avec un unique élément du second.