Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité de longueur fixée. On considère les points suivants : \text{A} (-3\: ; 0), \text{B} (3\: ; 0) , \text{D} (-5\: ; 0) et \text{E} (5\: ; 0). Le point \text{C}(x\:;y) est un point mobile sur le demi-cercle de diamètre [\text{DE}] : on a donc x \in [-5\: ; 5] .
Le but est d'étudier des propriétés du triangle \text{ABC} par la mise en commun de résultats.

Question préliminaire : Laquelle des trois longueurs de \text{ABC} ne varie pas lorsque \text{C} décrit le demi-cercle ? Préciser alors sa valeur.

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Partie 1

\text{CH} est la hauteur issue de \text{C}. On note h la longueur \text{CH} et on admet que h est définie sur l'intervalle [-5\: ; 5] par h(x) = \sqrt{25 - x^2}.

1. Déterminer les images de -4 ; 0 et 4 par h et interpréter les résultats.

2. Construire un tableau de valeurs sur [-5\: ; 5] en calculant suffisamment d'images pour ensuite représenter à la main la courbe de h dans un repère orthonormé.

3. Déterminer graphiquement les antécédents de 4 par h et interpréter le résultat.

4. Résoudre graphiquement h(x) = 0 et interpréter le résultat à l'aide du contexte.

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Partie 2

On note f la longueur du segment [\text{AC}]. On admet que f est définie sur l'intervalle [-5\: ; 5] par f(x)=\sqrt{6 x+34}.

1. Déterminer les images respectives de -5\: ; -4\: ; 0\: ; 4 et 5 par f et interpréter les résultats.

2. Construire un tableau de valeurs sur [-5\: ; 5] en calculant suffisamment d'images pour ensuite représenter à la main la courbe de f dans un repère orthonormé.

3. Déterminer graphiquement les éventuels antécédents de 4 par f.

4. Résoudre graphiquement f(x) = 6 et interpréter le résultat.

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Partie 3

On note g la longueur du segment [\text{BC}]. On admet que g est définie sur l'intervalle [-5 \:; 5] par g(x)=\sqrt{-6 x+34}.

1. Déterminer les images respectives de -5\: ; -4\: ; 0\: ; 4 et 5 par g et interpréter les résultats

2. Construire un tableau de valeurs sur [-5\: ; 5] en calculant suffisamment d'images pour ensuite représenter à la main la courbe de g dans un repère orthonormé.

3. Déterminer les éventuels antécédents de 4 par g.

4. Résoudre g(x) = 6 et interpréter le résultat.

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Mise en commun

1. En utilisant les résultats obtenus précédemment avec les fonctions f, g et h, recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

x	-5	-4	-3	-0,3	0	0,3	3	4	5
h(x)
f(x)
g(x)

2. Préciser les valeurs de x pour lesquelles le triangle \text{ABC} est plat. Préciser alors ses longueurs.

3. Préciser les valeurs de x pour lesquelles le triangle \text{ABC} est rectangle.

4. a. Existe-t-il une valeur de x pour laquelle le triangle \text{ABC} est isocèle en \text{C} ? Préciser alors ses longueurs et calculer son aire.

b. Existe-t-il d'autres valeurs de x pour lesquelles le triangle \text{ABC} est isocèle ?

c. Le triangle \text{ABC} peut-il être équilatéral ? Justifier.

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