Soit n_0 \in \mathbb{N}.
Une suite numérique u est une fonction définie pour tout entier naturel n \geqslant n_0 à valeurs dans \mathbb{R}. Pour chaque n \geqslant n_0, on associe le nombre noté u(n) ou encore u_n. La suite est notée (u_n)_{n\geqslant n_0} ou, plus simplement, (u_n).

Attention à ne pas confondre le nombre u_n et la suite (u_n).

Une suite est définie explicitement lorsque l'on peut calculer n'importe quel terme de la suite directement en fonction de n. On donne alors l'expression du terme général u_n en fonction de n.

Il existe une fonction f telle que u_n = f(n).

Une suite est définie par récurrence lorsqu'elle est définie par la donnée de son premier terme et d'une relation qui permet de calculer un terme à partir du terme précédent. On donne donc l'expression de u_{n+1} en fonction de u_n. Cette relation est appelée relation de récurrence.

Il existe une fonction f telle que u_{n+1} = f(u_n).

La suite w définie sur \mathbb{N} par le premier terme w_0 =4 et, pour tout entier n, w _{n+1}=2w_n +1 est définie par récurrence. Pour trouver w_4 =79, il faut calculer w_3 qui nécessite de calculer w_2 qui nécessite à son tour le calcul de w_1 que l'on calcule grâce à : w_1= 2w_0 + 1= 2\times 4 + 1 = 9. Puis w_2= 2w_1 + 1, etc.

On peut écrire

\left\{\begin{array}{cc}{w_0} &=& 4 \\ w_{n+1} &= & {2 w_{n}+1}\end{array}\right.

Pour chacune des suites définies pour tout entier naturel n, déterminer les trois premiers termes.
1. (u_n) définie par : u_n=\dfrac{2n+1}{n+5}

2. (v_n) définie par : \left\{\begin{array}{cc}{v_0} &=& 3 \\ v_{n+1} &= & {2 v_{n}-5n}\end{array}\right.

1. La suite (u_n) est définie explicitement donc on remplace n par 0 pour calculer u_0 puis on remplace n par 1 pour calculer u_1 etc.

2. La suite (v_n) est définie par récurrence. Le premier terme est connu. Pour calculer v_1, on utilise le terme précédent v_0. Puis on utilise v_1 pour calculer v_2.

Dans un repère, représenter graphiquement les trois premiers termes des deux suites ( u_ n) et (v_ n) définies précédemment.

1. On a calculé précédemment u_0= \dfrac{1}{5} donc on place le point \left(0\, ;\, \dfrac{1}{5}\right) dans le repère.
De même, on place les points \left(1\, ;\, \dfrac{1}{2}\right) et \left(2\, ;\, \dfrac{5}{7}\right).

2. On sait que v_0 = 3 donc on place le point (0\,;\, 3) dans le repère.
De même, on place les points (1\,;\, 6) et (2\,;\, 7).

Soit n_0 \in \mathbb{N}.
1. Une suite (u_n) est croissante à partir du rang n_0 lorsque, pour tout entier n \geqslant n_0, u_{n+1} \geqslant u_n.
2. Une suite (u_n) est décroissante à partir du rang n_0 lorsque, pour tout entier n \geqslant n_0, u_{n+1} \leqslant u_n.
2. Une suite est dite monotone à partir du rang n_0 lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante à partir du rang n_0.

u_{n+1} \geqslant u_n est équivalent à u_{n+1}-u_n\geqslant 0.

Étudier le sens de variation de la suite (u_n) définie pour tout entier n > 0 par u_n = \dfrac{1}{n}.

1. On étudie le signe de la différence u_{n+1}-u_{n}.

• Si pour tout entier n, u_{n+1}-u_{n}>0, la suite est strictement croissante.
• Si pour tout entier n, u_{n+1}-u_{n} \lt 0 , la suite est strictement décroissante.

2. Si la suite est définie explicitement, on étudie le sens de variation de la fonction f telle que u_n=f(n).

3. Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, on compare le quotient \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} à 1.

• Si pour tout entier n, \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}>1, la suite est strictement croissante.


• Si pour tout entier n, \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\lt 1, la suite est strictement décroissante.

Cette dernière méthode n'est pas la plus simple, car il faut d'abord justifier que tous les termes de la suite sont strictement positifs.

Pour tout entier n>0 : u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}
3 méthodes sont envisageables :

1^re méthode :
Pour tout n\ne 0 , u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n}{n(n+1)}-\dfrac{n+1}{n(n+1)}=\dfrac{n-n-1}{n(n+1)}=\dfrac{-1}{n(n+1)}.

Comme u_{n+1} - u_n \lt 0 car n > 0 et n + 1 > 0, la suite (u_n) est strictement décroissante.

2^e méthode
f : x \mapsto \dfrac{1}{x} est une fonction strictement décroissante sur ]0 \, ; +\infty [ On en déduit que la suite (u_n) définie par u_n=f(n) est donc strictement décroissante sur \mathbb{N}.

3^e méthode
Puisque u_n>0 pour tout entier n \ne 0, on peut calculer :
\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1}{n+1} \times \dfrac{n}{1}=\dfrac{n}{n+1}

Or, n\lt n+1 donc \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\lt 1 donc u_{n+1}\lt u_n. Ainsi, (u_n) est strictement décroissante.

Exercices

24

p. 31 et

49

p. 33