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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 1
TP / TICE 1
Évolution d'abonnés
13 professeurs ont participé à cette page
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Énoncé
Un youtubeur compte 75 abonnés le 1er janvier 2019. Il remarque que, chaque mois, il en conserve 60 % et 100 nouvelles personnes le suivent.
On souhaite déterminer l'évolution de son nombre d'abonnés.
Questions préliminaires :
1. Montrer que le nombre d'abonnés au 1er février 2019 est 145.
2. On modélise la situation par une suite (u_n), où u_n est le nombre d'abonnés n mois après janvier 2019.
a. Déterminer u_0 et u_1 puis montrer que u_2 =187.
b. Justifier que, pour tout entier n, u_{n+1}=0{,}6u_n+100.
Questions préliminaires :
1. Montrer que le nombre d'abonnés au 1er février 2019 est 145.
2. On modélise la situation par une suite (u_n), où u_n est le nombre d'abonnés n mois après janvier 2019.
a. Déterminer u_0 et u_1 puis montrer que u_2 =187.
b. Justifier que, pour tout entier n, u_{n+1}=0{,}6u_n+100.
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Objectif
Étudier le comportement d'une suite à l'aide d'une des trois méthodes.
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Méthode 1Tableur
1. À l'aide d'un tableur, faire afficher les 22 premiers termes de la suite (u_n).
GeoGebra
2. Comment évolue le nombre d'abonnés ? Vers quelle valeur semble tendre le nombre d'abonnés lorsque n devient très grand ?
3. À partir de combien de mois dépasse-t-on 230 abonnés ?
4. Pour tout entier naturel n, la suite (v_n) est définie par v_n= u_n- 250.
a. Exprimer v_{n+1} en fonction de v_n.
b. En déduire la nature de la suite (v_n).
c. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.
d. Conclure sur le sens de variation de la suite (u_n).
3. À partir de combien de mois dépasse-t-on 230 abonnés ?
4. Pour tout entier naturel n, la suite (v_n) est définie par v_n= u_n- 250.
a. Exprimer v_{n+1} en fonction de v_n.
b. En déduire la nature de la suite (v_n).
c. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.
d. Conclure sur le sens de variation de la suite (u_n).
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Méthode 2GeoGebra
1. Dans un repère orthogonal, représenter la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = 0{,}6x + 100 et la droite d'équation y = x.
GeoGebra
On définit la suite (u_n) par \left\{\begin{array}{l}{u_{0}=75} \\ {u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)}\end{array}\right.
2. Représenter graphiquement les sept premiers termes de la suite.
3. Conjecturer le sens de variation à partir de cette représentation graphique.
4. Pour tout entier naturel n, la suite (v_n) est définie par v_n = u_n -250.
a. Exprimer v_{n+1} en fonction de v_n.
b. En déduire la nature de la suite (v_n).
c. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.
d. Conclure sur le sens de variation de la suite (u_n).
2. Représenter graphiquement les sept premiers termes de la suite.
3. Conjecturer le sens de variation à partir de cette représentation graphique.
4. Pour tout entier naturel n, la suite (v_n) est définie par v_n = u_n -250.
a. Exprimer v_{n+1} en fonction de v_n.
b. En déduire la nature de la suite (v_n).
c. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.
d. Conclure sur le sens de variation de la suite (u_n).
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Méthode 3Python
\boxed{
\begin{array} { l } { \text {n } \leftarrow 0 } \\
{ \text {U } \leftarrow 75 } \\
\text{Tant que }... :\\
\quad \text {U } \leftarrow ...\\
\quad \text {n } \leftarrow \text {n} + 1 \\
\text {Fin Tant que}
\end{array}
}
1. a. Recopier et compléter l'algorithme afin de déterminer au bout de combien de mois le nombre d'abonnés sera supérieur à 230.
b. Le programmer à l'aide de Python et déterminer le nombre de mois pour que le nombre d'abonnés dépasse 230.
2. Quelle modification apporter pour que l'on obtienne le nombre de mois où le nombre d'abonnés sera supérieur à 240 ?
b. Le programmer à l'aide de Python et déterminer le nombre de mois pour que le nombre d'abonnés dépasse 230.
2. Quelle modification apporter pour que l'on obtienne le nombre de mois où le nombre d'abonnés sera supérieur à 240 ?
3. Modifier le programme pour que l'utilisateur puisse choisir le nombre d'abonnés à dépasser.
4. On définit pour tout entier naturel n, la suite (v_n) par v_n = u_n -250.
a. Exprimer v_{n+1} en fonction de v_n.
b. En déduire la nature de la suite (v_n).
c. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.
d. Conclure sur le sens de variation de la suite (u_n).
4. On définit pour tout entier naturel n, la suite (v_n) par v_n = u_n -250.
a. Exprimer v_{n+1} en fonction de v_n.
b. En déduire la nature de la suite (v_n).
c. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.
d. Conclure sur le sens de variation de la suite (u_n).
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