Une suite (u_n) est dite arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel r tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}= u_n +r.

Le nombre réel r est appelé la raison de la suite (u_n).

« Il existe r tel que pour tout n » signifie qu'on utilise le même nombre r pour toutes les valeurs de n.

Si (u_n) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tous entiers naturels n et p , u_n = u_p + (n-p)r.

En particulier, pour tout entier naturel n , u_n=u_0 + nr.

La réciproque est vraie : s'il existe r tel que u_n = A + rn pour tout entier n, alors (u_n) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0 = A.

1. Cas où n\geqslant p : de u_p à u_n, on ajoute n - p fois la raison donc on a u_n =u_p + (n - p)r.
2. Cas où n\leqslant p : avec la formule précédente, on peut écrire u_p =u_n + (p - n)r d'où u_n =u_p - (p - n)r = u_p + (n-p)r.

On réalise ici une démonstration par disjonction des cas.

Soit (u_n) la suite arithmétique de raison 3 telle que u_{10} = 2.
Alors u_{22}=u_{10} + (22-10)r = 2+12\times 3 = 38.
u_0= u_{10} +(0-10)\times r=2-10\times 3 = -28.

1. Soit (u_n), la suite définie sur \mathbb{N} par u_0 = 2 et u_{n+ 1} = u_n + 6. Déterminer la raison et le premier terme de cette suite arithmétique.
2. Soit (v_n), la suite définie sur \mathbb{N} par v_n=-5n+7. Montrer que la suite (v_n) est arithmétique.

Calculer la différence u_{n+1} - u_n. Pour tout n \in \mathbb{N}, la différence doit être constante et indépendante de n.

On pose : \mathrm{S}=1+2+\ldots+(n-1)+n
On peut aussi écrire : \mathrm{S}=n+(n-1)+\ldots+2+1
Ainsi, 2 \mathrm{S}=(1+n)+(2+(n-1))+\ldots+(2+(n-1))+(n+1)
donc 2 \mathrm{S}=n(n+1) d'où \mathrm{S}=\dfrac{n(n+1)}{2}.

L'addition est commutative donc 1 + 2 + 3 = 3 + 2 + 1.

La somme des 100 premiers entiers naturels non nuls est :

1+2+\ldots+100=\dfrac{100 \times(100+1)}{2}=50 \times 101=5\,050.

En utilisant la somme des termes d'une suite arithmétique, calculer la somme 10 + 13 + 16 + ... + 163.

• Simplifier la somme en faisant apparaître 1+2+3+\ldots+n.
• Compter correctement le nombre de termes.
• Utiliser la formule du cours pour calculer 1+2+\ldots+n.

Une suite arithmétique de raison r est :

• croissante si r > 0 ;
• décroissante si r \lt 0 ;
• constante si r = 0.

Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r. Alors, pour tout n, u_{n+1}=u_{n}+r soit u_{n+1}-u_{n}=r. Le signe de u_{n+1}-u_{n} est donc celui de r d'où la conclusion de la propriété.

Soit (u_n) la suite définie pour tout entier n \geqslant 0 par u_n= 5n-4. Étudier le sens de variation de (u_n).

1. On calcule la différence u_{n+1}-u_{n}.
2. Si la différence est constante, alors on conclut que la suite est arithmétique.
3. On utilise alors la propriété qui permet de déterminer le sens de variation selon le signe de la raison.