1. Calculer u_1 et u_2 .

2. Établir une relation de récurrence entre u_{n+1} et u_n puis en déduire la nature de (u_n).

3. En déduire une expression du terme u_n en fonction de n .

4. On note S_n la somme totale des loyers payés à la fin des n premières années de location. Déterminer une expression de S_n en fonction de n.

1. Calculer v_1 et v_2 .

2. Établir une relation de récurrence entre v_{n+1} et v_n puis en déduire la nature de (v_n).

3. En déduire une expression du terme v_n en fonction de n .

4. On note T_n la somme totale des loyers payés à la fin des n premières années de location. Déterminer une expression de T_n en fonction de n.

Contrat n° 3
Le locataire s'engage à rester au moins 9 ans. Chaque 1^er janvier, le loyer annuel subira une augmentation de 8 % et recevra une réduction de 360 euros. Pour tout entier naturel n , on note w_n le montant annuel de l'année 2019 +\,n. 1. Calculer w_1 et w_2 .

2. Établir une relation de récurrence entre w_{n+1} et w_n.

3. Pour tout n \in \mathbb{N}, on pose t_n = w_n - 4\, 500. Prouver que (t_n) est géométrique et donner sa raison et son premier terme.

4. Donner alors une expression du terme t_n en fonction de n.

5. En déduire que w_n = 4\, 380 \times 1{,}08^n + 4\, 500.

1. Comparaison des contrats 1 et 2. a. Comparer les loyers annuels de l'année 2028.

b. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle le loyer du contrat n° 2 est plus avantageux pour le locataire.

c. Le locataire a l'intention de louer cet appartement jusqu'au 31 décembre 2026, quel contrat devra-t-il choisir ?

Si le contrat n° 3 est résilié avant 9 ans, le locataire devra rembourser 360 euros par année occupée.

2. Vérifier si le loyer annuel avec le contrat n° 3 est effectivement plus intéressant que les contrats n° 1 et n° 2 la 9^e année.

3. Le contrat n° 3 reste-t-il toujours le plus avantageux ? Justifier.