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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 1
Synthèse
Exercices de Synthèse - Objectif BAC
8 professeurs ont participé à cette page
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83
Algo
[Modéliser.]
Une médiathèque a ouvert début 2017 et 3 000 personnes se sont inscrites durant la première année. Chaque année, 75 % des inscrits renouvellent leur abonnement et 500 nouvelles adhésions ont lieu. On modélise la situation par la suite (a_n) définie pour tout entier naturel n , où a_0 = 3\,000 est le nombre d'adhérents en 2017 et a_n le nombre d'inscrits l'année 2017 +\ n .
1. a. Calculer a_1 et a_2.
b. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a a_{n+1}=0{,}75 a_{n}+500.
2. On pose b_{n}=a_{n}-2\,000 pour tout entier naturel n .
a. Prouver que la suite (b_ n) est une suite géométrique en précisant sa raison et son premier terme.
b. En déduire l'expression du terme général de la suite (b_ n) puis de la suite (a_n).
c. Quel est le sens de variation de chaque suite ?
b. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a a_{n+1}=0{,}75 a_{n}+500.
2. On pose b_{n}=a_{n}-2\,000 pour tout entier naturel n .
a. Prouver que la suite (b_ n) est une suite géométrique en précisant sa raison et son premier terme.
b. En déduire l'expression du terme général de la suite (b_ n) puis de la suite (a_n).
c. Quel est le sens de variation de chaque suite ?
d. Conjecturer les limites des suites (a_n) et (b_ n). Que peut-on en déduire pour le nombre d'adhésions de cette médiathèque ?
3. On propose l'algorithme suivant.
a. Que permet de calculer cet algorithme ?
b. Interpréter le résultat obtenu à la fin de cet algorithme.
3. On propose l'algorithme suivant.
\boxed{
\begin{array} { l } { \text {n } \leftarrow 0 } \\
{ \text {A } \leftarrow 3\,000 } \\
{ \text {Tant que } (\text {A} > 2\,100): } \\
\quad \text {A } \leftarrow 0{,}75\text{ A}+500 \\
\quad \text {n } \leftarrow \text {n} +1 \\
\text {Fin tant que}
\end{array}
}
a. Que permet de calculer cet algorithme ?
b. Interpréter le résultat obtenu à la fin de cet algorithme.
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84
[Modéliser.] Le gazon d'un champ de 5 000 m² est envahi par des pissenlits qui détruisent 20 % de la surface en un an. Chaque automne, Catherine arrache 250 m² de pissenlits afin de semer de la pelouse. On pose p_0 = 5\,000 la surface initiale en m² de pelouse et p_n la surface à la fin de n années où n \in \N .
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1. Calculer la surface de pelouse au bout d'une et deux années.
2. Exprimer, pour tout n \in \N, p_{n+1} en fonction de p_n .
3. On définit, pour tout entier naturel n , la suite (v_n) par v_n = p_n -1\, 250.
a. Déterminer la nature de la suite (v_n), sa raison et son premier terme.
b. Donner l'expression du terme général v_n en fonction de n \in \N .
2. Exprimer, pour tout n \in \N, p_{n+1} en fonction de p_n .
3. On définit, pour tout entier naturel n , la suite (v_n) par v_n = p_n -1\, 250.
a. Déterminer la nature de la suite (v_n), sa raison et son premier terme.
b. Donner l'expression du terme général v_n en fonction de n \in \N .
c. En déduire une expression de p_n en fonction de n pour tout n \in \N .
4. Quel est le sens de variation de la suite (p_n) ?
5. Quelle sera l'aire de gazon sans pissenlit au bout de 10 ans ?
6. Dans combien d'années la surface de gazon sera-t-elle inférieure à 1 000 m² ? Justifier.
4. Quel est le sens de variation de la suite (p_n) ?
5. Quelle sera l'aire de gazon sans pissenlit au bout de 10 ans ?
6. Dans combien d'années la surface de gazon sera-t-elle inférieure à 1 000 m² ? Justifier.
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85
En économie
[Modéliser.]
Perrine place 8 000 € sur un compte dont le taux d'intérêts cumulés est de 3,8 %. Chaque année, 76 € de frais de gestion sont prélevés. Pour tout entier n , on note C_n le capital de l'année n. On suppose que l'année 0 est l'année du premier dépôt.
1. On cherche le capital dont disposera Perrine dans 10 ans.
a. Établir une relation de récurrence pour définir la suite C_n .
b. Soit D_n la suite définie pour tout entier n par D_n = C_n - 2\, 000. Prouver que cette suite est géométrique et donner sa raison et son premier terme.
a. Établir une relation de récurrence pour définir la suite C_n .
b. Soit D_n la suite définie pour tout entier n par D_n = C_n - 2\, 000. Prouver que cette suite est géométrique et donner sa raison et son premier terme.
c. En déduire une expression de C_n en fonction de n et répondre au problème posé.
2. Combien d'années seront nécessaires pour que le capital augmente de 50 % ?
2. Combien d'années seront nécessaires pour que le capital augmente de 50 % ?
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86
[Calculer.] On considère les suites (u_n) et (v_n) définies pour tout entier naturel n par :
\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=1} \\ {u_{n+1}=\dfrac{3 u_{n}+2 v_{n}}{5}}\end{array}\right. et \left\{\begin{array}{l}{v_{0}=2} \\ {v_{n+1}=\dfrac{2 u_{n}+3 v_{n}}{5}}\end{array}\right.
1. Calculer u_1, v_1, u_2 et v_2 .
2. On considère la suite (d_n) définie pour tout entier naturel n par d_n = v_n - u_n .
a. Montrer que la suite (d_ n) est une suite géométrique dont on donnera sa raison et son premier terme.
b. En déduire l'expression de d_n en fonction de n.
3. On considère la suite (s_n) définie pour tout entier naturel n par s_n = u_n + v_n .
a. Calculer s_0, s_1 et s_2 . Que peut-on conjecturer ?
2. On considère la suite (d_n) définie pour tout entier naturel n par d_n = v_n - u_n .
a. Montrer que la suite (d_ n) est une suite géométrique dont on donnera sa raison et son premier terme.
b. En déduire l'expression de d_n en fonction de n.
3. On considère la suite (s_n) définie pour tout entier naturel n par s_n = u_n + v_n .
a. Calculer s_0, s_1 et s_2 . Que peut-on conjecturer ?
b. Montrer que, pour tout n \in \N, s_{n+1} = s_n. Qu'en déduit-on ?
4. En déduire une expression de u_n et v_n en fonction de n .
5. Déterminer, en fonction de n \in \N :
a. \mathrm{T}_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}
b. \mathrm{W}_{n}=v_{0}+v_{1}+\ldots+v_{n}
4. En déduire une expression de u_n et v_n en fonction de n .
5. Déterminer, en fonction de n \in \N :
a. \mathrm{T}_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}
b. \mathrm{W}_{n}=v_{0}+v_{1}+\ldots+v_{n}
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87
[Calculer.]
Soit la suite (u_n) définie par u_0 = 1, u_1 = 5 et, pour tout entier naturel n , u_{n+2} =6 u_{n+ 1} - 8u_n.
1. a. Démontrer que, pour tout x \in \R, x^{2}-6 x+8=(x-2)(x-4).
b. Résoudre x^{2}-6 x+8=0.
2. Soient \alpha et \beta deux nombres réels. On considère les suites (v_n) et (w_n) définies pour tout entier naturel n par v_{n}=u_{n+1}-\alpha u_{n} et w_{n}=u_{n+1}-\beta u_{n}.
Déterminer la valeur des réels \alpha et \beta pour que les suites (v_n) et (w_n) soient géométriques.
b. Résoudre x^{2}-6 x+8=0.
2. Soient \alpha et \beta deux nombres réels. On considère les suites (v_n) et (w_n) définies pour tout entier naturel n par v_{n}=u_{n+1}-\alpha u_{n} et w_{n}=u_{n+1}-\beta u_{n}.
Déterminer la valeur des réels \alpha et \beta pour que les suites (v_n) et (w_n) soient géométriques.
3. Déterminer v_n - w_n en fonction de u_n pour tout entier naturel n .
4. En déduire une expression de v_n, w_n et u_n en fonction de n .
5. Question bonus (voir aussi l'exercice transversal ). Utiliser cette méthode pour trouver une expression du terme général de la suite de Fibonacci définie par : u_0 = 1, u_1=1 et pour tout entier naturel n , u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}.
4. En déduire une expression de v_n, w_n et u_n en fonction de n .
5. Question bonus (voir aussi l'exercice transversal ). Utiliser cette méthode pour trouver une expression du terme général de la suite de Fibonacci définie par : u_0 = 1, u_1=1 et pour tout entier naturel n , u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}.
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Histoire des maths
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Leonardo Pisano, dit Fibonacci, était un mathématicien italien des XIIe et XIIIe siècles qui introduisit les chiffres indo-arabes en Europe après ses voyages. Dans un de ses ouvrages, Liber abaci, il décrit la croissance d'une population de lapins. En partant d'un couple de lapins, combien de couples obtient-on en un an, si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple de lapins à compter de son troisième mois d'existence ?<\br/> Le nombre d'or \varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} est la limite du quotient de deux termes consécutifs.
Dans la nature, le nombre de pétales de fleurs, de graines des tournesols, de pommes de pin d'un arbre appartiennent à la suite de Fibonacci. Les spirales des coquilles des mollusques suivent la spirale d'or construite à partir de la suite de Fibonacci.
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88
[Modéliser.]
D'après Bac - Asie - 2016
Une société produit des bactéries pour l'industrie. En laboratoire, il a été mesuré que dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour. La société met en place le dispositif industriel suivant. Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus. L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.
On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (u_n) définie de la façon suivante : u_0 = 1\,000 et, pour tout entier naturel n , u_{n+1} = 1{,}2u_n -100.
1. a. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l'énoncé. On précisera en particulier ce que représente u_n.
b. L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg. À l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
c. On peut également utiliser l'algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Recopier et compléter cet algorithme.
b. L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg. À l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
c. On peut également utiliser l'algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Recopier et compléter cet algorithme.
\boxed{
\begin{array} { l } { \text {n } \leftarrow 0 } \\
{ \text {u } \leftarrow 1\,000 } \\
{ \text {Tant que } ...: } \\
\quad \text {u } \leftarrow ... \\
\quad \text {n } \leftarrow \text {n} +1 \\
\text {Fin tant que}
\end{array}
}
2. On admet que pour tout entier naturel n , u_n \geqslant 1\, 000 . Démontrer que la suite (u_n) est croissante.
3. On définit la suite (v_n) pour tout entier naturel n par v_n = u_n -500.
a. Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique.
b. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n .
c. Conjecturer la limite de la suite (u_n).
3. On définit la suite (v_n) pour tout entier naturel n par v_n = u_n -500.
a. Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique.
b. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n .
c. Conjecturer la limite de la suite (u_n).
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89
[Représenter.]
Afin de construire la courbe fractale ci-après, appelée flocon de Koch, on effectue à chaque étape le même programme de construction. On partage chaque segment en trois parties égales et on remplace le segment du milieu par un triangle équilatéral dont on efface la base.
Voici les 3 premières étapes de construction pour un côté.
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On obtient alors la construction complète du flocon.
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1. Nombre de côtés.
Pour tout entier naturel n\geqslant 1 , on note c_n le nombre de côtés du flocon à l'étape n .
a. Déterminer les quatre premières valeurs de la suite (c_n).
b. Prouver que la suite (c_n) est géométrique.
c. Exprimer c_n en fonction de n .
Pour tout entier naturel n\geqslant 1 , on note c_n le nombre de côtés du flocon à l'étape n .
a. Déterminer les quatre premières valeurs de la suite (c_n).
b. Prouver que la suite (c_n) est géométrique.
c. Exprimer c_n en fonction de n .
2. Périmètre du flocon.
Pour tout entier naturel n \geqslant 1 , on note \ell _n la longueur d'un segment à l'étape n .
a. Prouver que la suite (\ell_n) est géométrique.
b. Exprimer \ell_n en fonction de n .
c. Pour tout entier naturel n \geqslant 1 , on note p_n le périmètre d'un flocon à l'étape n .
Prouver que p_{n}=3 \ell_{1} \times\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-1}.
d. Si le côté du triangle initial est de 10 cm, le périmètre peut-il dépasser 1 km ? Si oui, à quelle étape ?
Pour tout entier naturel n \geqslant 1 , on note \ell _n la longueur d'un segment à l'étape n .
a. Prouver que la suite (\ell_n) est géométrique.
b. Exprimer \ell_n en fonction de n .
c. Pour tout entier naturel n \geqslant 1 , on note p_n le périmètre d'un flocon à l'étape n .
Prouver que p_{n}=3 \ell_{1} \times\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-1}.
d. Si le côté du triangle initial est de 10 cm, le périmètre peut-il dépasser 1 km ? Si oui, à quelle étape ?
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90
GeoGebra
[Calculer.]
Le segment \left[\text{OA}_0\right] ci-dessous a pour longueur 1 cm.
On trace une série de triangles \text{OA}_n \text{A}_{n+1} rectangles et isocèles en \text{A}_{n+1} comme sur la figure ci-dessous.
On souhaite calculer la longueur de la ligne polygonale \text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8 ainsi que l'aire du polygone \text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8.
1. Reproduire la figure sur GeoGebra et donner une valeur approchée de la longueur de la ligne polygonale \text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8 ainsi que l'aire du polygone \text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8.
On souhaite calculer la longueur de la ligne polygonale \text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8 ainsi que l'aire du polygone \text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8.
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GeoGebra
2. On définit, pour tout entier naturel n , \ell_n la longueur
\text{OA}_n .
a. Prouver que la suite (\ell_n) est géométrique.
b. En déduire une expression de \ell_n en fonction de n pour tout entier naturel n .
c. Justifier que la longueur de la ligne polygonale \text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8 est égale à p_{8}=\ell_{1}+\ell_{2}+\ldots+\ell_{8}.
d. Prouver que p_{8}=\dfrac{15 \sqrt{2}+15}{16}.
3. Pour tout entier naturel n, on pose u_{n}=\ell_{n}^{2}.
a. Prouver que la suite (u_n) est géométrique.
b. En déduire une expression de u_n en fonction de n pour tout entier naturel n .
c. Justifier que l'aire du polygone \text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8 est égale à a_{8}=\dfrac{1}{2}\left(u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{8}\right).
d. Prouver que a_{8}=\dfrac{255}{512}.
a. Prouver que la suite (\ell_n) est géométrique.
b. En déduire une expression de \ell_n en fonction de n pour tout entier naturel n .
c. Justifier que la longueur de la ligne polygonale \text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8 est égale à p_{8}=\ell_{1}+\ell_{2}+\ldots+\ell_{8}.
d. Prouver que p_{8}=\dfrac{15 \sqrt{2}+15}{16}.
3. Pour tout entier naturel n, on pose u_{n}=\ell_{n}^{2}.
a. Prouver que la suite (u_n) est géométrique.
b. En déduire une expression de u_n en fonction de n pour tout entier naturel n .
c. Justifier que l'aire du polygone \text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8 est égale à a_{8}=\dfrac{1}{2}\left(u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{8}\right).
d. Prouver que a_{8}=\dfrac{255}{512}.
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91
[Calculer.]
Tapis de Sierpiński
On considère un carré dont l'aire est de 1 m². Pour construire la figure ci-dessous, on partage ce carré en 9 carrés égaux et on noircit celui du centre. On partage chacun des 8 carrés restants en 9 carrés égaux et on noircit les 8 carreaux au centre. On recommence cette construction à chaque étape. Pour tout entier naturel n \geqslant 1 , \mathrm{A}_n désigne l'aire totale noircie lors de l'étape n .
On a donc \mathrm{A}_1= \dfrac{1}{9}.
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1. a. En remarquant qu'à chaque étape, on noircit \dfrac{1}{9} de la surface verte, justifier que pour tout entier naturel n \geqslant 1, on a \mathrm{A}_{n+1}=\dfrac{8}{9} \mathrm{A}_{n}+\dfrac{1}{9}.
b. À l'aide de la calculatrice ou d'un programme, donner les valeurs \mathrm{A}_{5}, \text{A}_{10}, \mathrm{A}_{25} et \mathrm{A}_{50}.
c. Conjecturer le sens de variation et la limite de (\text{A}_n).
2. Pour tout entier naturel n non nul, on pose \text{B}_n = \text{A}_n - 1.
a. Prouver que la suite (\text{B}_n) est géométrique.
b. À l'aide de la calculatrice ou d'un programme, donner les valeurs \mathrm{A}_{5}, \text{A}_{10}, \mathrm{A}_{25} et \mathrm{A}_{50}.
c. Conjecturer le sens de variation et la limite de (\text{A}_n).
2. Pour tout entier naturel n non nul, on pose \text{B}_n = \text{A}_n - 1.
a. Prouver que la suite (\text{B}_n) est géométrique.
b. Exprimer \text{B}_n en fonction de n .
c. En déduire l'expression de \text{A}_n en fonction de n .
d. Prouver la conjecture faite à la question 1.
3. Peut-on avoir plus de 80 %, 95 %, 99 % du carré noirci ? Si oui, préciser les étapes correspondantes à chaque fois.
c. En déduire l'expression de \text{A}_n en fonction de n .
d. Prouver la conjecture faite à la question 1.
3. Peut-on avoir plus de 80 %, 95 %, 99 % du carré noirci ? Si oui, préciser les étapes correspondantes à chaque fois.
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Club de Maths
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92
Algo
La suite de Syracuse est une suite de nombres entiers définie de la façon suivante :
a. On choisit un entier naturel non nul ;
b. Si ce nombre est pair, on le divise par 2 ; s'il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1 ;
c. On recommence l'étape b. avec le nombre obtenu. Par exemple, avec 7, on obtient la suite : 7 ; 22 ; 11 ; 34 ; ... 1. Démontrer qu'en choisissant n = 1 , la suite de nombres obtenue se répète rapidement de façon infinie.
2. Poursuivre la suite commençant par 7.
3. À partir de maintenant, on arrête la suite dès que la valeur 1 est obtenue. Écrire un algorithme qui, à partir d'un entier n strictement positif, affiche tous les termes de la suite jusqu'à obtenir 1.
a. On choisit un entier naturel non nul ;
b. Si ce nombre est pair, on le divise par 2 ; s'il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1 ;
c. On recommence l'étape b. avec le nombre obtenu. Par exemple, avec 7, on obtient la suite : 7 ; 22 ; 11 ; 34 ; ... 1. Démontrer qu'en choisissant n = 1 , la suite de nombres obtenue se répète rapidement de façon infinie.
2. Poursuivre la suite commençant par 7.
3. À partir de maintenant, on arrête la suite dès que la valeur 1 est obtenue. Écrire un algorithme qui, à partir d'un entier n strictement positif, affiche tous les termes de la suite jusqu'à obtenir 1.
4. Programmer cet algorithme avec Python et faire quelques tests. La conjecture de Syracuse stipule qu'on arrive toujours à 1.
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93
Énigme
Dans l'antiquité, le roi des Indes demanda un nouveau jeu pour se distraire. Son vizir Sissa inventa le jeu d'échecs.
Le roi, ravi de ce nouvel amusement lui demanda comment le récompenser. Sissa dit : « Je voudrais un peu de riz. Placez un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième et ainsi de suite en doublant à chaque fois le nombre de grains de riz. » Le roi accepta cette demande, qu'il trouva bien modeste.
Le conseiller s'écria : « Sire ! Vous conduisez notre pays à la ruine ! »
Le roi, ravi de ce nouvel amusement lui demanda comment le récompenser. Sissa dit : « Je voudrais un peu de riz. Placez un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième et ainsi de suite en doublant à chaque fois le nombre de grains de riz. » Le roi accepta cette demande, qu'il trouva bien modeste.
Le conseiller s'écria : « Sire ! Vous conduisez notre pays à la ruine ! »
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Pourquoi le conseiller du roi réagit ainsi ?
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94
Approfondissement
On s'intéresse à la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n strictement positif par u_n = n^2 .
1. Calculer 1 + 4 + 9 + 16 + 25. Que représente ce nombre pour la suite (u_n) ?
2. On souhaite déterminer une formule permettant de calculer la somme S_n des n premiers termes de la suite (u_n) : S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\dots+n^{2}.
a. Démontrer que, pour tous entiers a et b , (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}.
b. En déduire alors le développement de (n+1)^{3} puis celui de (n+1)^{3}-n^{3}.
c. Compléter le tableau suivant en s'appuyant sur le modèle de la première ligne :
2. On souhaite déterminer une formule permettant de calculer la somme S_n des n premiers termes de la suite (u_n) : S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\dots+n^{2}.
a. Démontrer que, pour tous entiers a et b , (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}.
b. En déduire alors le développement de (n+1)^{3} puis celui de (n+1)^{3}-n^{3}.
c. Compléter le tableau suivant en s'appuyant sur le modèle de la première ligne :
| n=1 | 2^{3}-1^{3}= | 3 \times 1^{2}+3 \times 1+1 |
| n=2 | 3^{3}-2^{3}= | |
| n=3 | 4^{3}-3^{3}= | |
| n : | (n+1)^{3}-n^{3}= |
3. a. En imaginant que l'on a complété toutes les lignes de 1 jusqu'à n , justifier que la somme de toutes les lignes de la deuxième colonne est égale à (n+1)^{3}-1^{3}.
b. Justifier alors que (n+1)^{3}-1=3 \times \mathrm{S}_{n}+3 \mathrm{A}+n où \text{A}=1+2+3+\dots+n.
4. Justifier que 3 \mathrm{S}_{n}=(n+1)^{3}-1-\dfrac{3 n(n+1)}{2}-n.
5. Démontrer enfin que S_{n}=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6} et vérifier cette formule avec \text{S}_5 calculée à la question 1..
b. Justifier alors que (n+1)^{3}-1=3 \times \mathrm{S}_{n}+3 \mathrm{A}+n où \text{A}=1+2+3+\dots+n.
4. Justifier que 3 \mathrm{S}_{n}=(n+1)^{3}-1-\dfrac{3 n(n+1)}{2}-n.
5. Démontrer enfin que S_{n}=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6} et vérifier cette formule avec \text{S}_5 calculée à la question 1..
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Approfondissement
On s'intéresse à la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n strictement positif par v_n = n^3.
1. Calculer 1 + 8 + 27 + 64 + 125. Que représente ce nombre pour la suite (v_n) ?
2. On souhaite déterminer une formule permettant de calculer la somme T_n des n premiers termes de la suite v_n : T_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dots+n^{3}.
a. Démontrer que, pour tous entiers a et b, (a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}.
b. En utilisant la même démarche que l'exercice précédent, démontrer que, pour tout entier n strictement positif, \mathrm{T}_{n}=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2} et vérifier cette formule avec \text{T}_5 calculée à la question 1.
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