1. Calculer une probabilité conditionnelle.
2. Calculer la probabilité d'un événement en utilisant un arbre pondéré.
3. Calculer la probabilité d'une intersection d'événements en utilisant un arbre pondéré.
4. Déterminer et utiliser l'indépendance de deux événements.

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En théorie des jeux, on utilise les probabilités conditionnelles pour modéliser les jeux dans lesquels la probabilité d'une action dépend des résultats des actions précédentes. C'est à Thomas Bayes (XVIII^e siècles) que l'on doit la première publication traitant de la théorie des probabilités conditionnelles.

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Avant de commencer

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Prérequis

1. Connaître l'intersection et la réunion de deux événements et des événements complémentaires.
2. Savoir utiliser P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).
3. Calculer la probabilité d'un événement complémentaire.
4. Utiliser un arbre de dénombrement.
5. Utiliser un tableau de probabilité à simple ou double entrée.

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1
Représenter des événements

Pour chacun des événements suivants, compléter le diagramme de Venn ci-dessous.

1. \text{A} \cap \text{B}

2. \text{A} \cup \text{C}

3. \overline{\mathrm{A}} \cup \mathrm{B} \cap \mathrm{C}

4. \overline{\mathrm{B}} \cup \mathrm{C}

5. \overline{\mathrm{B}} \cup \overline{\mathrm{C}}

6. \overline{\mathrm{B}} \cap \overline{\mathrm{C}}

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2
Calculer des probabilités

On considère deux événements \text{A} et \text{B} . On a : \text{P(A)} = 0\text{,}75 , \text{P(B)} = 0\text{,}2 et {\text{P}(\text{A} \cap \text{B}) = 0\text{,}1 .}

1. Compléter le diagramme de Venn ci-dessous.

2. Calculer \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}).

3. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}).

4. Calculer \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}).

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3
Utiliser un arbre de dénombrement

Dans une urne, il y a deux boules rouges \text{R}_{1} et \text{R}_2 et deux boules noires \text{N}_{1} et \text{N}_{2} . On en tire deux boules successivement avec remise. 1. Représenter cette situation par un arbre de dénombrement.

2. Combien y a-t-il d'issues si on ne considère que la couleur des boules tirées ?

3. Quelle est la probabilité des événements suivants ?
a. \text{A}: « obtenir deux boules noires ».

b. \text{B}: « obtenir deux boules de la même couleur ».

c. \text{C}: « obtenir une et une seule boule rouge ».

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4
Utiliser une situation d'équiprobabilité

On lance un dé équilibré à 20 faces. Les faces sont numérotées de 1 à 20. 1. Quelle conclusion peut-on tirer du fait que le dé soit équilibré ?

2. Quelle est la probabilité des événements suivants ?
a. \text{A} : « obtenir un résultat supérieur ou égal à 7 ».

b. \text{B} : « obtenir un résultat pair ».

c. \text{C} : « obtenir un nombre premier ».

d. \mathrm{D}=\mathrm{C} \cap \overline{\mathrm{B}}.

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5
Problème

On lance un dé truqué à six faces numérotées de 1 à 6 et on observe le résultat obtenu. La loi de probabilité liée à cette expérience aléatoire est donnée ci-dessous où x et y sont des réels compris entre 0 et 1.

Face	1	2	3	4	5	6
Probabilité	0,1	0,35	0,05	0,2	x	y

On sait de plus que la probabilité d'obtenir un résultat pair est 0{,}65.

1. Quelle est la probabilité d'obtenir 6\:?

2. En déduire la probabilité d'obtenir 5.

3. Jack affirme que, bien que le dé ne soit pas équilibré, la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 est \dfrac{1}{2}. A-t-il raison ?

4. Mary affirme de même que la probabilité d'obtenir un nombre premier est aussi \dfrac{1}{2}. A-t-elle raison?

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Anecdote

Venn lui-même n'a pas utilisé le terme « diagramme de Venn » mais les a nommés « cercles eulériens ». Le premier à utiliser le terme de « diagramme de Venn » a été Clarence Irving Lewis en 1918, dans son livre A Survey of Symbolic Logic.

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Mathématiques 1re Spécialité

Probabilités conditionnelles

Avant de commencer

1 Représenter des événements

2 Calculer des probabilités

3 Utiliser un arbre de dénombrement

4 Utiliser une situation d'équiprobabilité

5 Problème

Anecdote

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1
Représenter des événements

2
Calculer des probabilités

3
Utiliser un arbre de dénombrement

4
Utiliser une situation d'équiprobabilité

5
Problème