Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Un étudiant regarde régulièrement des séries sur des plateformes en ligne. On cherche à évaluer la probabilité qu'a cet étudiant, qui regarde des séries le midi et le soir, de ne pas regarder de série pendant trois semaines consécutives. Cet étudiant regarde une série le midi avec une probabilité de 0\text{,}2. S'il a regardé une série le midi, la probabilité qu'il en regarde une le soir est 0\text{,}15. S'il n'a pas regardé de série le midi, il en regardera une le soir avec une probabilité de 0\text{,}2.

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Partie 1

1. Représenter cette situation par un arbre de probabilité.

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2. Quelle est la probabilité qu'il regarde une série le midi et le soir ?

3. Quelle est la probabilité qu'il regarde une série au moins à un des deux moments ?

4. Quelle est la probabilité qu'il ne regarde pas du tout de série ?

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Partie 2

1. Compléter l'algorithme suivant qui permet de simuler 10\,000 journées.

\boxed{ \begin{array} { l } 1 \text { PasDeSerie } \leftarrow 0 \\ 2\text { Pour i allant de 0 à } \text { ... } \\ 3\quad \text { M } \leftarrow \text { nombre aléatoire entre } 0 \text{ et } 1 \\ 4\quad \text { S } \leftarrow \text { nombre aléatoire entre } 0 \text{ et } 1 \\ 5\quad \text { midi } \leftarrow 0 \\ 6\quad \text { soir } \leftarrow 0 \\ 7\quad \text { Si M } \lt \text { ... } \\ 8\quad \quad \text { midi } \leftarrow 1 \\ 9\quad \text {Fin Si } \\ 10\quad \text {Si midi } = 1: \\ 11\quad \quad \text {Si S } \lt \text { ... } \\ 12\quad \quad \quad \text { soir } \leftarrow \text { ... } \\ 13\quad \quad \text {Fin Si} \\ 14\quad \text {Sinon} \\ 15\quad \quad \text {Si S } \lt \text { ... } \\ 16 \quad \quad \quad \text { soir } \leftarrow \text { ... } \\ 17\quad \quad \text {Fin Si} \\ 18\quad \text {Fin Si} \\ 19\quad \text {Si midi } = \text { ... } \text { et soir } = \text { ... } \\ 20\quad \quad \text {PasDeSerie} \leftarrow \text {PasDeSerie} + 1\\ 21 \quad \text {Fin Si} \\ 22\text { Fin Pour} \\ 23\text { Proportion} \leftarrow \text{...} \\ \end{array} }

2. Programmer cet algorithme avec Python et interpréter le résultat.

3. En déduire la proportion de jours pendant laquelle l'étudiant n'a pas du tout regardé de série, ni le matin, ni le soir.

4. Compléter le programme pour simuler 10\,000 semaines de sept jours chacune et interpréter le résultat.

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Partie 3

On note p la probabilité que l'étudiant ne regarde pas de série, ni le matin, ni le soir. On suppose que son comportement chaque jour est indépendant de son comportement des autres jours. On note \text{A}_{i} l'événement « l'étudiant n'a pas regardé de série le jour i». 1.Calculer \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1} \cap \mathrm{A}_{2}\right) en fonction de p.

2. Calculer, en fonction de p, \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{i-1}}\left(\mathrm{A}_{i}\right). Justifier.

3. Calculer, en fonction de p , la probabilité qu'il ne regarde pas de série pendant sept jours. Justifier.

4. Quelle valeur de p donne à l'étudiant une probabilité supérieure à 0\text{,}9 de ne pas regarder de série pendant la semaine ?

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Mise en commun

On considère qu'un étudiant est guéri de sa dépendance lorsqu'il n'a pas regardé de série pendant trois semaines consécutives. On supposera que le comportement de chaque semaine est indépendant de celui des autres semaines. Quelle est la probabilité que cet étudiant soit guéri de sa dépendance ?

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