Formule des probabilités totales

53

[Modéliser.]
Une urne opaque contient trois boules rouges, une boule noire et une boule verte toutes indiscernables au toucher. On procède au tirage, sans remise, de trois boules dont on note la couleur.

Déterminer la probabilité d'obtenir trois boules de couleurs différentes.

58

[Chercher.]
Dominique souhaite réaliser un exercice pour préparer sa fille Camille au bac. Si elle lui propose un exercice de géométrie, la probabilité que Camille réussisse est égale à 0\text{,}9. Si elle lui propose un exercice d'algèbre, la probabilité que Camille réussisse est égale à 0\text{,}45.
Dominique ne sait pas quoi choisir et va laisser les probabilités choisir pour elle. Elle souhaite que Camille réussisse son exercice avec une probabilité d'au moins 80 %.

Sachant cela, quelle doit être la probabilité minimale que Dominique choisisse un exercice de géométrie ?

59

[Calculer.]
On considère deux événements \text{A} et \text{B} tels que \mathrm{P(A) = 0\text{,}6}, \mathrm{P(B)=0\text{,}4} et \mathrm{P_{A}(B)=0\text{,}5}.

Calculer \mathrm{P_{\overline{A}}(B)}.

61

[Chercher.]
Dans la famille Patate, la probabilité de manger de la purée un jour donné est égale à 0\text{,}3 si on en a mangé la veille, alors qu'elle est égale à 0\text{,}8 si on n'en a pas mangé la veille. Le dimanche, la famille Patate ne mange jamais de purée.
On notera les événements suivants :

\text{L} : « la famille mange de la purée lundi » ;

\text{M} : « la famille mange de la purée mardi ».

Quelle est la probabilité que la famille Patate mange de la purée le mardi ?

60

[Chercher.]

On jette un dé non truqué à 20 faces numérotées de 1 à 20. On note :

\text{A} : « le résultat est pair » ;

\text{B} : « le résultat est l'un des nombres 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 » ;

\text{C} : « le résultat est impair » ;

\text{D} : « le résultat est l'un des nombres 9 ou 15 » ;

\text{E} : « le résultat est un nombre premier ».

1. \text{E} et \text{A} forment-ils une partition de l'univers ?

2. \text{C} et \overline{\text{B}} forment-ils une partition de l'univers ?

3. Parmi ces cinq événements, en donner deux qui forment une partition de l'univers.

4. Parmi ces cinq événements, en donner trois qui forment une partition de l'univers.

66

[Chercher.]
Une fourmi a découvert une source de nourriture et en marque le chemin à l'aide de phéromones. Ainsi, la fourmi suivante aura une probabilité égale à 0\text{,}95 de retrouver le chemin de la source de nourriture. Au bout d'un certain temps, la piste de phéromone disparaît et les fourmis suivantes n'ont plus alors qu'une probabilité égale à 0\text{,}1 de trouver la source de nourriture. La probabilité que la deuxième fourmi arrive avant la disparition des phéromones est 0\text{,}45.

1. Quelle est la probabilité que la seconde fourmi trouve la source de nourriture ?

2. Si la deuxième fourmi a trouvé la source de nourriture, elle dépose à nouveau des phéromones. Une troisième fourmi cherche la source de nourriture. Elle commence son trajet au moment où les phéromones de la première ont disparu mais où les éventuelles phéromones de la deuxième sont toujours actives.
On ignore si la deuxième fourmi a trouvé la nourriture : calculer alors la probabilité que la troisième fourmi trouve la nourriture.