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Ch. 2
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Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 11
Cours 2
Formule des probabilités totales
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Un arbre pondéré, ou arbre de probabilité, est un schéma mettant en jeu des probabilités
conditionnelles et permettant de calculer rapidement des probabilités.
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A Arbre pondéré
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Propriété
1. La somme des probabilités des
branches issues d'un noeud est
égale à 1.
2. La probabilité de l'événement à l'extrémité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches composant ce chemin.
3. La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement.
2. La probabilité de l'événement à l'extrémité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches composant ce chemin.
3. La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement.
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Même lorsque cela n'est pas demandé, il est toujours bon de construire un arbre de probabilité.
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L'événement
lu à l'extrémité
d'un chemin est
l'intersection des
événements rencontrés
sur ce chemin.
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Exemple
On considère l'arbre pondéré ci-contre.
D'après la première propriété, \mathrm{0{,}7 + 0{,}1 + P(C) = 1}, d'où \mathrm{P(C) = 0\text{,}2} et \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{D})+\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{D}})=0{,}4+\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{D}})=1, d'où \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{D}})=0{,}6.
De même \text{P(G) } = 1 - 0{,}1 - 0{,}3 = 0{,}6.
D'après la deuxième propriété, \mathrm{P(A \cap D)=P(A) \times P_{A}(D)=0{,}7 \times 0{,}4=0{,}28.}
D'après la troisième propriété,
\mathrm{P}(\mathrm{D})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{C} \cap \mathrm{D}) = 0\text{,}7 \times 0\text{,}4+0{,}2 \times 0\text{,}5=0\text{,}38.
De même \text{P(G) } = 1 - 0{,}1 - 0{,}3 = 0{,}6.
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Application et méthode
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Énoncé
On considère une expérience aléatoire et deux événements \text{A} et \text{B} tels que \text{P(A)} = 0{,}6 , \mathrm{P_{A}(B) }= 0\text{,}7 et \mathrm{P_{\overline{A}}(B)=0\text{,}2.}
1. Construire un arbre pondéré complet représentant cette expérience.
2. Déterminer la probabilité de l'événement \mathrm{A \cap B.}
2. Déterminer la probabilité de l'événement \mathrm{A \cap B.}
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1. a. On réalise l'arbre qui représente bien toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire.
b. On complète les branches avec les probabilités données par l'énoncé.
c. On calcule les autres probabilités en se rappelant que la somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1.
2. On calcule la probabilité de l'intersection en utilisant la formule du cours ou en se rappelant que la probabilité de l'événement à l'extrémité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches composant ce chemin.
b. On complète les branches avec les probabilités données par l'énoncé.
c. On calcule les autres probabilités en se rappelant que la somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1.
2. On calcule la probabilité de l'intersection en utilisant la formule du cours ou en se rappelant que la probabilité de l'événement à l'extrémité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches composant ce chemin.
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B Probabilités totales
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Définition
On considère un événement \text{A} ainsi que les n
événements non vides \mathrm{A}_{1},\: \mathrm{A}_{2}, \dots, \mathrm{A}_{n} tels que :
pour tous entiers distincts i et j compris entre 1 et
n , \mathrm{A_{i}} et \mathrm{A_{j}} sont incompatibles :\text{ A}_{i} \cap \text{A}_{j}=\emptyset\, ;
\mathrm{A}_{1} \cup \mathrm{A}_{2} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{n}=\mathrm{A}.
On dit que la famille des événements \left(\text{A}_{k}\right)_{1 \leqslant k \leqslant n} forme une partition de \text{A.}
On dit que la famille des événements \left(\text{A}_{k}\right)_{1 \leqslant k \leqslant n} forme une partition de \text{A.}
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\text{A} et \overline{\text{A}} forment toujours une partition de \Omega.
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Propriété
Formule des probabilités totales
On considère une expérience aléatoire d'univers \Omega et un événement \text{B}. On note, \mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, \dots, \mathrm{A}_{n}, n événements non vides formant une partition de l'univers \Omega.
Alors \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1} \cap \mathrm{B}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2} \cap \mathrm{B}\right)+\ldots+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n} \cap \mathrm{B}\right)
Ou, de manière équivalente :
\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{1}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{2}}(\mathrm{B})+\ldots+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{n}}(\mathrm{B}).
On considère une expérience aléatoire d'univers \Omega et un événement \text{B}. On note, \mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, \dots, \mathrm{A}_{n}, n événements non vides formant une partition de l'univers \Omega.
Alors \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1} \cap \mathrm{B}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2} \cap \mathrm{B}\right)+\ldots+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n} \cap \mathrm{B}\right)
Ou, de manière équivalente :
\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{1}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{2}}(\mathrm{B})+\ldots+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{n}}(\mathrm{B}).
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Depuis la seconde, on sait que \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) + \text{P}(\overline{\text{A}} \cap \text{B}) où \text{A} et \overline{\text{A}} forment une partition de l'univers. Ce résultat est généralisé ici.
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Démonstration
\begin{array} {ll}
\mathrm{P}(\mathrm{B})&=\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \Omega)\\
&=\mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap\left(\mathrm{A}_{1} \cup \mathrm{A}_{2} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{n}\right)\right) \\
&= \mathrm{P}\left(\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{1}\right) \cup\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{2}\right) \cup \ldots\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{n}\right)\right) \\
&= \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{2}\right)+\ldots \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{n}\right)\end{array}
puisque les événements \mathrm{A}_{i} et \text{A}_{j} sont incompatibles pour tous entiers i\neq j et donc les événements \mathrm{B \cap A}_{i } et \mathrm{B \cap A}_{j} aussi.
puisque les événements \mathrm{A}_{i} et \text{A}_{j} sont incompatibles pour tous entiers i\neq j et donc les événements \mathrm{B \cap A}_{i } et \mathrm{B \cap A}_{j} aussi.
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Exemple
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Puisque \text{A}, \text{B} et \text{C} forment une partition de l'univers \Omega alors :
\begin{array}{ll} \mathrm{P}(\mathrm{D})&=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{C} \cap \mathrm{D}) \\ &= \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{C}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{C}}(\mathrm{D})\\ &= 0{,}1 \times 0{,}2+0{,}5 \times 0{,}7+0{,}4 \times 0{,}1\\ &=0{,}41 \end{array}
\begin{array}{ll} \mathrm{P}(\mathrm{D})&=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{C} \cap \mathrm{D}) \\ &= \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{C}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{C}}(\mathrm{D})\\ &= 0{,}1 \times 0{,}2+0{,}5 \times 0{,}7+0{,}4 \times 0{,}1\\ &=0{,}41 \end{array}
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Application et méthode
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Énoncé
On considère les événements \text{A} et \text{B} vérifiant l'arbre pondéré suivant.
Déterminer \mathrm{P(B)}.
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Il suffit ici d'utiliser la formule des probabilités totales
ou de se rappeler que la probabilité d'un événement est
égale à la somme des probabilités des chemins conduisant
à cet événement.
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Solution
La probabilité de l'événement \text{B} est obtenue en utilisant :
\mathrm{P(B)=P(A \cap B)+P(\overline{A} \cap B)} = \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B}) = 0\text{,}6 \times 0\text{,}7+0\text{,}4 \times 0\text{,}2=0\text{,}5.
\mathrm{P(B)=P(A \cap B)+P(\overline{A} \cap B)} = \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B}) = 0\text{,}6 \times 0\text{,}7+0\text{,}4 \times 0\text{,}2=0\text{,}5.
Pour s'entraîner
exercices p.295 et p.298
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