Nombres complexes, point de vue géométrique

1. Représenter un nombre complexe par un point.
2. Déterminer le module et les arguments d'un nombre complexe.

3. Passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique ou exponentielle et inversement.

4. Utiliser les nombres complexes pour étudier des configurations du plan dans le cadre de la résolution de problèmes.

5. Utiliser les formules d'Euler et de Moivre pour transformer des expressions trigonométriques dans des contextes divers (intégration, suites, etc.).

6. Utiliser les racines de l'unité dans l'étude de configurations liées aux polygones réguliers.

1. Déterminer la forme algébrique et conjuguée d'un nombre complexe.
2. Savoir résoudre des équations ou systèmes d'équations faisant intervenir z et \overline{z} .
3. Savoir résoudre des équations polynomiales.
4. Maitriser la fonction exponentielle.
5. Connaître les relations trigonométriques et les valeurs trigonométriques remarquables.
6. Savoir étudier des situations de parallélisme et d'orthogonalité dans le plan.

Il a fallu plus de deux siècles pour que les nombres « imaginaires », qui ne sont au départ que des fictions utiles aux calculs algébriques, prennent un statut nouveau, qu'il soit algébrique ou géométrique. C'est Gauss qui, en 1831, introduit les « nombres complexes » en lien avec leur représentation dans un plan.

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Résoudre des équations dans \mathbb{C}

Résoudre dans \mathbb{C} les équations suivantes.

1. 3 z-2 i=0

2. (8-3 i) z+2 i=z

3. 4 \overline{z}+\mathrm{i}+7=3-5 \mathrm{i}

4. 8 i z+2 \overline{z}+1=3+4 i

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Résoudre une équation du second degré

Résoudre dans \mathbb{C} les équations suivantes.

1. 3 z^{2}-5 z+1=0

2. z^{2}+z+1=0

3. z^{2}-\sqrt{2} z+3=2

4. \left(z^{2}-4 z+2\right)\left(z^{2}-z+1\right)=0

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Résoudre une équation polynomiale

1.On considère le polynôme \text{P} défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{3}-5 z^{2}+11 z-10.
a. Montrer que 2 est une racine de \text{P}.

b. En déduire une factorisation du polynôme \text{P}.

c. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation \mathrm{P}(z)=0.

2. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation (\mathrm{E}): 2 z^{3}+7 z^{2}+9 z+4=0.

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Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle

Soit x un nombre réel.
Simplifier les écritures suivantes.

1. \mathrm{e}^{3 x} \times \mathrm{e}^{2 x-1}

2. \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x-3}}

3. \left(\mathrm{e}^{x+2}\right)^{2}

4. \frac{\left(\mathrm{e}^{x-1}\right)^{3} \times \mathrm{e}^{3-5 x}}{\mathrm{e}^{-2 x+6}}

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Utiliser des propriétés géométriques

On considère un plan muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \mathrm{I} ; \mathrm{J}), d'unité le centimètre.
1. Placer le point \text{A} tel que \widehat{\mathrm{IOA}}=\frac{5 \pi}{6} rad et \mathrm{OA}=3 cm.

2. Déterminer la nature du triangle \text{BCD} tel que \mathrm{B}(1\,; 3), \mathrm{C}(-1\,; 1) et \mathrm{D}(1\,;-1).

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Problème

On considère un plan muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \mathrm{I} ; \mathrm{J}).
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points définis par :

• \widehat{\mathrm{IOA}}=\frac{3 \pi}{4} rad et \mathrm{OA}=2 \sqrt{2} ;
• \text{B} appartient au cercle trigonométrique de centre \text{O} tel que \widehat{\mathrm{IOB}}=\frac{3 \pi}{2} rad ;
• \text{C} a pour coordonnées \mathrm{C}(3\,;1).

Déterminer la nature du triangle \text{ABC}.