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A
Démontrer avec les nombres complexes
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Propriété
Soient \text{A} et \text{B} deux points d'affixe respective z_\mathrm{A} et z_\mathrm{B} dans le plan complexe.
La distance \text{AB} est égale à \mathrm{AB}=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}\right|.
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Remarque
Calculer des distances permet de démontrer qu'un triangle est rectangle, qu'un point appartient à un cercle, à la médiatrice d'un segment, etc.
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Démonstration
Dans un repère orthonormé, \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}}=\left|\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right) \mathrm{i}\right| =\left|\left(x_{\mathrm{B}}+\mathrm{i} y_{\mathrm{B}}\right)-\left(x_{\mathrm{A}}+\mathrm{i} y_{\mathrm{A}}\right)\right|=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|.
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Propriétés
Soient \text{A} et \text{B} deux points d'affixe respective z_\mathrm{A} et z_\mathrm{B} dans le plan complexe.
1. L'ensemble (\mathrm{E}) des points \text{M} du plan d'affixe z vérifiant \left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right| est la médiatrice du segment [\mathrm{AB}].
2. Si r est un nombre réel strictement positif, alors l'ensemble (\mathrm{E}^{\prime}) des points \text{M} du plan d'affixe z vérifiant \left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r est le cercle de centre \text{A} et de rayon r.
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Démonstration
1.\mathrm{M} \in(\mathrm{E}) \Leftrightarrow\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right| \Leftrightarrow \mathrm{AM}=\mathrm{BM} \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la médiatrice de [\mathrm{AB}].
2.\mathrm{M} \in\left(\mathrm{E}^{\prime}\right) \Leftrightarrow\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r \Leftrightarrow \mathrm{AM}=r \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient au cercle de centre \text{A} et de rayon r.
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Propriétés
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points deux à deux distincts d'affixe respective z_\mathrm{A}, z_\mathrm{B} et z_\mathrm{C}.
1.