73
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l'affixe est écrite sous une forme trigonométrique. 1. \text{A} d'affixe z_{\mathrm{A}}=3[\cos (0)+\mathrm{i} \sin (0)].

2. \text{B} d'affixe z_{\mathrm{B}}=2\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right].

3. \text{C} d'affixe z_{\mathrm{C}}=\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right].

4. \text{D} d'affixe z_{\mathrm{D}}=4\left[\cos \left(\frac{11 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{11 \pi}{4}\right)\right].

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74
[Représenter.]
Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et l'argument principal. 1. z_{1}=\sqrt{2}\left[\cos \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)\right]

2. z_{2}=2\left[\cos \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)\right]

3. z_{3}=5\left[\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]

4. z_{4}=-\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right]

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75
[Calculer.]

Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants. 1. z_{1}=3\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right]

2. z_{2}=5\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right]

3. z_{3}=5\left[\cos \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)\right]

4. z_{4}=3\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right]

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76
[Calculer.]

Déterminer une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants. 1. z_{1}=\frac{3}{2}+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \mathrm{i}

2. z_{2}=\pi \mathrm{i}

3. z_{3}=6+6 \sqrt{3} \mathrm{i}

4. z_{4}=-2+2 \mathrm{i}

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77
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme trigonométrique de l'affixe de chaque point. Le triangle \text{OFD} est équilatéral.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 77

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Démo

[Raisonner.] Soient r et r^\prime deux réels strictement positifs et \theta et \theta^\prime deux réels. Dans le plan complexe, on considère les deux nombres complexes z=r(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)) et z^{\prime}=r^{\prime}\left(\cos \left(\theta^{\prime}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta^{\prime}\right)\right). 1. a. Déterminer une forme trigonométrique de \overline z et -z.

b. En déduire que \arg (\overline{z})=-\arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) et que \arg (-z)=\pi+\arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

2. a. Déterminer une forme trigonométrique de z \times z^{\prime}.

b. En déduire que \arg \left(z \times z^{\prime}\right)=\arg (z)+\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

c. Démontrer par récurrence que, pour tout n \in \mathbb{N}, \arg \left(z^{n}\right)=n \arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

3. a. Déterminer une forme trigonométrique de \frac{1}{z^{\prime}}.

b. En déduire que \arg \left(\frac{1}{z^{\prime}}\right)=-\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

c. Démontrer que \arg \left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)=\arg (z)-\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

d. Exprimer alors, pour tout n \in \mathbb{Z}, \arg \left(z^{n}\right) en fonction de \arg \left(z\right) et de n.

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79
[Calculer.]

Soient z et z^\prime deux nombres complexes non nuls tels que \arg (z)=\frac{\pi}{5}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) et
\arg \left(z^{\prime}\right)=-\frac{3 \pi}{7}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
Déterminer l'argument principal de : 1. z z^{\prime}

2. \frac{z^{\prime}}{z}

3. z^4

4. \frac{z^{3}}{z^{\prime}}

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Algo

[Chercher.]
Soit z un nombre complexe non nul tel que z=x+\mathrm{i} y avec x et y des réels. On note r=|z|.
On définit, pour tout a \in[-1 ; 1], \arccos (a) comme l'unique nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; \pi] vérifiant \cos (x)=a. 1. Déterminer \arccos (1) et \arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

2. Compléter l'algorithme suivant permettant d'obtenir l'argument principal a de z.

\boxed{ \begin{array} { l } {r} \leftarrow \ldots \\ {c} \leftarrow \frac{x}{r} \\ \text {Si } \ldots : \\ \quad {a} \leftarrow \arccos (c) \\ \text {Sinon :} \\ \quad {a} \leftarrow \ldots \\ \text {Retourner } {a} \\ \end{array} }

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81
[Communiquer.]
Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi puis, lorsque cela est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.

1. z_{1}=-\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right]

2. z_{2}=6\left[\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)-\mathrm{i} \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]

3. z_{3}=2 \mathrm{i}\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right]

4. z_{4}=\left[-\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right]

5. z_{5}=2\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{3}\right)-\mathrm{i} \sin \left(\frac{5 \pi}{3}\right)\right]

6. z_{6}=0[\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi)]

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Démo

[Raisonner.]
1. En utilisant les formules d'addition, démontrer que, pour tout réel a, on a :
a. \cos (2 a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2 \cos ^{2}(a)-1=1-2 \sin ^{2}(a)

b. \sin (2 a)=2 \cos (a) \sin (a)

2. En déduire une expression de \cos (a) et de \sin (a) en fonction de \cos \left(\frac{a}{2}\right) et de \sin \left(\frac{a}{2}\right).

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83
[Calculer.]

1.Calculer la valeur exacte des nombres suivants.
a. \cos \left(\frac{7 \pi}{12}\right) et \sin \left(\frac{7 \pi}{12}\right).

b. \cos \left(\frac{\pi}{12}\right) et \sin \left(\frac{\pi}{12}\right).

c. \cos \left(\frac{5 \pi}{12}\right) et \sin \left(\frac{5 \pi}{12}\right).

d. \cos \left(\frac{11 \pi}{12}\right) et \sin \left(\frac{11 \pi}{12}\right).

2. En déduire une forme trigonométrique du nombre suivant : z=3(\sqrt{2}-\sqrt{6})+3 \mathrm{i}(\sqrt{2}+\sqrt{6}).

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84
[Calculer.]

1. Exprimer \cos ^{2}(x) et \sin ^{2}(x) en fonction de \cos (2 x), où x \in \mathbb{R}.

2. En déduire la valeur exacte de \int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x et \int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{4}}} \sin ^{2}(x) \mathrm{d} x.

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85
[Calculer.]
Factoriser, pour tout x \in \mathbb{R}, l'expression \cos ^{2}(x)-\sin (2 x).

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86
[Communiquer.]
En utilisant l'écran de calculatrice suivant, donner une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle de \frac{\sqrt{6}}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 86

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87
[Représenter.]

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Placer les points suivants dont on donne l'affixe sous une forme exponentielle. 1. \text{A} d'affixe z_{\mathrm{A}}=2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}.

2. \text{B} d'affixe z_{\mathrm{B}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}}.

3. \text{C} d'affixe z_{\mathrm{C}}=3 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{4}}}.

4. \text{C} d'affixe z_{\mathrm{D}}=2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{4 \mathrm{i} \pi}{3}}}.

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88
[Calculer.]

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants. 1. z_{1}=\frac{3}{2}+\frac{3 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}

2. z_{2}=\mathrm{i} \pi

3. z_{3}=6+6 \mathrm{i} \sqrt{3}

4. z_{4}=-2+2 \mathrm{i}

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89
[Raisonner.]
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le module et l'argument principal. 1. z_{1}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{3}}}

2. z_{2}=\frac{3}{4} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}}

3. z_{3}=-2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{2}}}

4. z_{4}=\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{4}}}

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Démo

[Raisonner.]
Soit \theta un nombre réel. 1. Rappeler la définition du nombre complexe \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}.

2. En déduire que \left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right|=1.

3. Justifier que \arg \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)=\theta+k \times 2 \pi, k \in \mathbb{Z}.

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91
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme exponentielle de l'affixe de chaque point. Le codage indique \mathrm{DF}=\mathrm{OF}=\mathrm{OD}=\mathrm{OC}.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 91

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92
[Calculer.]

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants. 1. z_{1}=-3-3 \mathrm{i}

2. z_{2}=\frac{7}{2}+\frac{7 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}

3. z_{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}

4. z_{4}=\frac{3}{2} \mathrm{i}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}

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93
[Calculer.]
Déterminer une forme trigonométrique, puis la forme algébrique des nombres complexes suivants. 1. z_{1}=4 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}

2. z_{2}=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{2}}}

3. z_{3}=6 \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \pi}

4. z_{4}=\mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}}

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Démo

[Raisonner.]
On rappelle que, pour tout réel \alpha, on a : \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}=\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha). Démontrer que, pour tous réels \alpha et \alpha^\prime, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}.

Cette relation est appelée relation fonctionnelle de l'exponentielle imaginaire.

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Démo

[Raisonner.]
Soient r et r^\prime deux réels strictement positifs et \alpha et \alpha^\prime deux nombres réels.
On considère les nombres complexes non nuls z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} et z^{\prime}=r^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}. 1. a. Démontrer que z \times z^{\prime}=r \times r^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, z^{n}=r^{n} \mathrm{e}^{n \mathrm{i} \alpha}.

2. Démontrer que \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{r}{r^{\prime}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)}.

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96
[Calculer.]
Soient z et z^\prime deux nombres complexes définis par z=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{5}}} et z^{\prime}=\frac{2}{5} \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{7}}}.
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants. 1. z \times z^{\prime}

2. \frac{z^{\prime}}{z}

3. z^{\prime 5}

4. \frac{z}{z^{\prime 3}}

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97
[Calculer.]

Déterminer la forme algébrique des nombres suivants. 1. z_{1}=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{6}}} \times \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{3}}}

2. z_{2}=\left(\sqrt{3} \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{2}}}\right)^{4}

3. z_{3}=\mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}}+\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{4}}}

4. z_{4}=4 \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{4 \mathrm{i} \pi}{3}}}-2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{6}}}

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98
[Calculer, Raisonner.]

1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique du produit \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}.

2. En déduire la valeur exacte de \cos \left(\frac{11 \pi}{12}\right) et \sin \left(\frac{11 \pi}{12}\right).

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En électricité

[Modéliser.]
En électricité, on utilise la notion d'impédance complexe, notée \underline{\mathrm{Z}}. L'impédance du circuit est |\underline{\mathrm{Z}}|.

1. Dans un circuit RLC (composé d'une résistance \text{R}, d'un condensateur \text{C} et d'une bobine d'inductance \text{L}) en série, \underline{\mathrm{Z}} s'exprime par \underline{\mathrm{Z}}=\mathrm{R}+\left(\mathrm{L} \omega-\frac{1}{\mathrm{C} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}.
Écrire l'impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l'impédance du circuit pour \mathrm{R}=90 \Omega, \mathrm{L}\omega=10 \Omega et \mathrm{C}\omega=20 \Omega^{-1}.

2. Dans un circuit RLC en parallèle, \underline{\mathrm{Z}} s'exprime par :

\frac{1}{\underline{\mathrm{Z}}}=\frac{1}{\mathrm{R}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}} \mathrm{L} \omega}+\mathrm{C} \omega \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}.

Écrire l'impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l'impédance du circuit pour \mathrm{R}=15 \Omega, \mathrm{L}\omega=80 \Omega et \mathrm{C}\omega=100 \Omega^{-1}.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 99

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100

Démo

[Raisonner.]
Soient a et b deux nombres réels. On considère les nombres complexes non nuls z=\mathrm{e}^{\mathrm{i} a} et z^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} b}.
En calculant de deux manières différentes z \times z^{\prime}, puis \frac{z}{z^{\prime}}, retrouver les formules d'addition.

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101

Démo

[Raisonner.]
On rappelle que, pour tout réel \theta, on a : \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta).
Démontrer les formules d'Euler.

Histoire des maths

Leonhard Euler (1707-1783) est un mathématicien suisse. Ses domaines de recherches sont vastes : analyse (il introduit le calcul différentiel et intégral), théorie des nombres, etc. Son nom est associé à plusieurs objets mathématiques : fonction indicatrice d'Euler, constante d'Euler, droite d'Euler, etc.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Leonhard Euler

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102
[Calculer.]
En utilisant les formules d'Euler, démontrer que, pour tout réel x :

1. \cos (2 x)=2 \cos ^{2}(x)-1

2. \sin (2 x)=2 \cos (x) \sin (x)

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103
[Calculer.]

Linéariser les expressions suivantes, où x est un réel.

1. \cos ^{4}(x)

2. \sin ^{5}(x)

3. \cos ^{2}(x) \sin ^{3}(x)

4. \cos ^{3}(x)+2 \sin ^{3}(x)

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104

Démo

On rappelle que, pour tout réel \theta, on a : \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta). Démontrer par récurrence les formules de Moivre.

Histoire des maths

Abraham De Moivre (1667‑1754) est un mathématicien français exilé à Londres. Son étude des racines n‑ièmes d'un nombre le mettent sur la voie des relations qui portent son nom.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Abraham De Moivre

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105
[Calculer.]
Soit x un nombre réel. 1. Développer (\cos (x)+\mathrm{i} \sin (x))^{3}.

2. À l'aide de la formule de Moivre, exprimer \cos (3 x)+\mathrm{i} \sin (3 x) en fonction de \cos (x) et \sin (x).

3. Démontrer que :
a. \cos (3 x)=4 \cos ^{3}(x)-3 \cos (x)

b. \sin (3 x)=-4 \sin ^{3}(x)+3 \sin (x)

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106
[Chercher.]
En utilisant la méthode de l'exercice précédent, exprimer, pour tout réel x, \cos (5 x) en fonction de \cos (x) puis \sin (5 x) en fonction de \sin (x).

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107
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\cos ^{5}(x). 1. Linéariser l'expression \cos ^{5}(x).

2. En déduire la valeur exacte de \int_{0}^{\normalsize{\tfrac{5 \pi}{6}}} f(x) \mathrm{d} x.

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108
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\sin ^{2}(x) \cos ^{3}(x).

1. Linéariser l'expression \sin ^{2}(x) \cos ^{3}(x).

2. En déduire la valeur exacte de \int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} f(x) \mathrm{d} x.

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