73
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l'affixe est écrite sous une forme trigonométrique. 1. \text{A} d'affixe z_{\mathrm{A}}=3[\cos (0)+\mathrm{i} \sin (0)].

2. \text{B} d'affixe z_{\mathrm{B}}=2\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right].

3. \text{C} d'affixe z_{\mathrm{C}}=\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right].

4. \text{D} d'affixe z_{\mathrm{D}}=4\left[\cos \left(\frac{11 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{11 \pi}{4}\right)\right].

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74
[Représenter.]
Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et l'argument principal. 1. z_{1}=\sqrt{2}\left[\cos \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)\right]

2. z_{2}=2\left[\cos \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)\right]

3. z_{3}=5\left[\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]

4. z_{4}=-\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right]

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75
[Calculer.]

Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants. 1. z_{1}=3\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right]

2. z_{2}=5\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right]

3. z_{3}=5\left[\cos \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)\right]

4. z_{4}=3\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right]

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76
[Calculer.]

Déterminer une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants. 1. z_{1}=\frac{3}{2}+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \mathrm{i}

2. z_{2}=\pi \mathrm{i}

3. z_{3}=6+6 \sqrt{3} \mathrm{i}

4. z_{4}=-2+2 \mathrm{i}

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77
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme trigonométrique de l'affixe de chaque point. Le triangle \text{OFD} est équilatéral.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 77

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Démo

[Raisonner.] Soient r et r^\prime deux réels strictement positifs et \theta et \theta^\prime deux réels. Dans le plan complexe, on considère les deux nombres complexes z=r(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)) et z^{\prime}=r^{\prime}\left(\cos \left(\theta^{\prime}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta^{\prime}\right)\right). 1. a. Déterminer une forme trigonométrique de \overline z et -z.

b. En déduire que \arg (\overline{z})=-\arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) et que \arg (-z)=\pi+\arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

2. a. Déterminer une forme trigonométrique de z \times z^{\prime}.

b. En déduire que \arg \left(z \times z^{\prime}\right)=\arg (z)+\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

c. Démontrer par récurrence que, pour tout n \in \mathbb{N}, \arg \left(z^{n}\right)=n \arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

3. a. Déterminer une forme trigonométrique de \frac{1}{z^{\prime}}.

b. En déduire que \arg \left(\frac{1}{z^{\prime}}\right)=-\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

c. Démontrer que \arg \left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)=\arg (z)-\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

d. Exprimer alors, pour tout n \in \mathbb{Z}, \arg \left(z^{n}\right) en fonction de \arg \left(z\right) et de n.

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79
[Calculer.]

Soient z et z^\prime deux nombres complexes non nuls tels que \arg (z)=\frac{\pi}{5}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) et
\arg \left(z^{\prime}\right)=-\frac{3 \pi}{7}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
Déterminer l'argument principal de : 1. z z^{\prime}

2. \frac{z^{\prime}}{z}

3. z^4

4. \frac{z^{3}}{z^{\prime}}

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Algo

[Chercher.]
Soit z un nombre complexe non nul tel que z=x+\mathrm{i} y avec x et y des réels. On note r=|z|.
On définit, pour tout a \in[-1 ; 1], \arccos (a) comme l'unique nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; \pi] vérifiant \cos (x)=a. 1. Déterminer \arccos (1) et \arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

2. Compléter l'algorithme suivant permettant d'obtenir l'argument principal a de z.

\boxed{ \begin{array} { l } {r} \leftarrow \ldots \\ {c} \leftarrow \frac{x}{r} \\ \text {Si } \ldots : \\ \quad {a} \leftarrow \arccos (c) \\ \text {Sinon :} \\ \quad {a} \leftarrow \ldots \\ \text {Retourner } {a} \\ \end{array} }

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81
[Communiquer.]
Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi puis, lorsque cela est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.

1. z_{1}=-\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right]

2. z_{2}=6\left[\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)-\mathrm{i} \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]

3. z_{3}=2 \mathrm{i}\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right]

4. z_{4}=\left[-\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right]

5. z_{5}=2\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{3}\right)-\mathrm{i} \sin \left(\frac{5 \pi}{3}\right)\right]

6. z_{6}=0[\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi)]

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84
[Calculer.]

1. Exprimer \cos ^{2}(x) et \sin ^{2}(x) en fonction de \cos (2 x), où x \in \mathbb{R}.

2. En déduire la valeur exacte de \int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x et \int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{4}}} \sin ^{2}(x) \mathrm{d} x.

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Démo

[Raisonner.]
1. En utilisant les formules d'addition, démontrer que, pour tout réel a, on a :
a. \cos (2 a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2 \cos ^{2}(a)-1=1-2 \sin ^{2}(a)

b. \sin (2 a)=2 \cos (a) \sin (a)

2. En déduire une expression de \cos (a) et de \sin (a) en fonction de \cos \left(\frac{a}{2}\right) et de \sin \left(\frac{a}{2}\right).

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83
[Calculer.]

1.Calculer la valeur exacte des nombres suivants.
a. \cos \left(\frac{7 \pi}{12}\right) et \sin \left(\frac{7 \pi}{12}\right).

b. \cos \left(\frac{\pi}{12}\right) et \sin \left(\frac{\pi}{12}\right).

c. \cos \left(\frac{5 \pi}{12}\right) et \sin \left(\frac{5 \pi}{12}\right).

d. \cos \left(\frac{11 \pi}{12}\right) et \sin \left(\frac{11 \pi}{12}\right).

2. En déduire une forme trigonométrique du nombre suivant : z=3(\sqrt{2}-\sqrt{6})+3 \mathrm{i}(\sqrt{2}+\sqrt{6}).

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85
[Calculer.]
Factoriser, pour tout x \in \mathbb{R}, l'expression \cos ^{2}(x)-\sin (2 x).

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86
[Communiquer.]
En utilisant l'écran de calculatrice suivant, donner une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle de \frac{\sqrt{6}}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}.

Image d'un exercice de mathématiques montrant le nombre complexe -√6/2 + √2/2 i.

Calcul de l'argument d'un nombre complexe : résultat 5π/6 ≈ 2.617994

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87
[Représenter.]

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Placer les points suivants dont on donne l'affixe sous une forme exponentielle. 1. \text{A} d'affixe z_{\mathrm{A}}=2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}.

2. \text{B} d'affixe z_{\mathrm{B}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}}.

3. \text{C} d'affixe z_{\mathrm{C}}=3 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{4}}}.

4. \text{C} d'affixe z_{\mathrm{D}}=2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{4 \mathrm{i} \pi}{3}}}.

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88
[Calculer.]

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants. 1. z_{1}=\frac{3}{2}+\frac{3 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}

2. z_{2}=\mathrm{i} \pi

3. z_{3}=6+6 \mathrm{i} \sqrt{3}

4. z_{4}=-2+2 \mathrm{i}

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89
[Raisonner.]
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le module et l'argument principal. 1. z_{1}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{3}}}

2. z_{2}=\frac{3}{4} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}}

3. z_{3}=-2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{2}}}

4. z_{4}=\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{4}}}

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Démo

[Raisonner.]
Soit \theta un nombre réel. 1. Rappeler la définition du nombre complexe \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}.

2. En déduire que \left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right|=1.

3. Justifier que \arg \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)=\theta+k \times 2 \pi, k \in \mathbb{Z}.

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91
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme exponentielle de l'affixe de chaque point. Le codage indique \mathrm{DF}=\mathrm{OF}=\mathrm{OD}=\mathrm{OC}.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 91

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92
[Calculer.]

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants. 1. z_{1}=-3-3 \mathrm{i}

2. z_{2}=\frac{7}{2}+\frac{7 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}

3. z_{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}

4. z_{4}=\frac{3}{2} \mathrm{i}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}

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93
[Calculer.]
Déterminer une forme trigonométrique, puis la forme algébrique des nombres complexes suivants. 1. z_{1}=4 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}

2. z_{2}=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{2}}}

3. z_{3}=6 \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \pi}

4. z_{4}=\mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}}

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Démo

[Raisonner.]
On rappelle que, pour tout réel \alpha, on a : \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}=\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha). Démontrer que, pour tous réels \alpha et \alpha^\prime, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}.

Cette relation est appelée relation fonctionnelle de l'exponentielle imaginaire.

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96
[Calculer.]
Soient z et z^\prime deux nombres complexes définis par z=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{5}}} et z^{\prime}=\frac{2}{5} \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{7}}}.
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants. 1. z \times z^{\prime}

2. \frac{z^{\prime}}{z}

3. z^{\prime 5}

4. \frac{z}{z^{\prime 3}}

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Démo

[Raisonner.]
Soient r et r^\prime deux réels strictement positifs et \alpha et \alpha^\prime deux nombres réels.
On considère les nombres complexes non nuls z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} et z^{\prime}=r^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}. 1. a. Démontrer que z \times z^{\prime}=r \times r^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, z^{n}=r^{n} \mathrm{e}^{n \mathrm{i} \alpha}.

2. Démontrer que \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{r}{r^{\prime}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)}.

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97
[Calculer.]

Déterminer la forme algébrique des nombres suivants. 1. z_{1}=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{6}}} \times \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{3}}}

2. z_{2}=\left(\sqrt{3} \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{2}}}\right)^{4}

3. z_{3}=\mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}}+\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{4}}}

4. z_{4}=4 \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{4 \mathrm{i} \pi}{3}}}-2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{6}}}

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98
[Calculer, Raisonner.]

1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique du produit \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}.

2. En déduire la valeur exacte de \cos \left(\frac{11 \pi}{12}\right) et \sin \left(\frac{11 \pi}{12}\right).

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En électricité

[Modéliser.]
En électricité, on utilise la notion d'impédance complexe, notée \underline{\mathrm{Z}}. L'impédance du circuit est |\underline{\mathrm{Z}}|.

1. Dans un circuit RLC (composé d'une résistance \text{R}, d'un condensateur \text{C} et d'une bobine d'inductance \text{L}) en série, \underline{\mathrm{Z}} s'exprime par \underline{\mathrm{Z}}=\mathrm{R}+\left(\mathrm{L} \omega-\frac{1}{\mathrm{C} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}.
Écrire l'impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l'impédance du circuit pour \mathrm{R}=90 \Omega, \mathrm{L}\omega=10 \Omega et \mathrm{C}\omega=20 \Omega^{-1}.

2. Dans un circuit RLC en parallèle, \underline{\mathrm{Z}} s'exprime par :

\frac{1}{\underline{\mathrm{Z}}}=\frac{1}{\mathrm{R}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}} \mathrm{L} \omega}+\mathrm{C} \omega \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}.

Écrire l'impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l'impédance du circuit pour \mathrm{R}=15 \Omega, \mathrm{L}\omega=80 \Omega et \mathrm{C}\omega=100 \Omega^{-1}.

Photographie gros plan d'une bobine et de condensateurs sur circuit électronique. Composants électroniques cuivre et vert.

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100

Démo

[Raisonner.]
Soient a et b deux nombres réels. On considère les nombres complexes non nuls z=\mathrm{e}^{\mathrm{i} a} et z^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} b}.
En calculant de deux manières différentes z \times z^{\prime}, puis \frac{z}{z^{\prime}}, retrouver les formules d'addition.

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101

Démo

[Raisonner.]
On rappelle que, pour tout réel \theta, on a : \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta).
Démontrer les formules d'Euler.

Histoire des maths

Leonhard Euler (1707-1783) est un mathématicien suisse. Ses domaines de recherches sont vastes : analyse (il introduit le calcul différentiel et intégral), théorie des nombres, etc. Son nom est associé à plusieurs objets mathématiques : fonction indicatrice d'Euler, constante d'Euler, droite d'Euler, etc.

Portrait peint de Leonhard Euler, mathématicien du XVIIIe siècle, assis à son bureau.

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102
[Calculer.]
En utilisant les formules d'Euler, démontrer que, pour tout réel x :

1. \cos (2 x)=2 \cos ^{2}(x)-1

2. \sin (2 x)=2 \cos (x) \sin (x)

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103
[Calculer.]

Linéariser les expressions suivantes, où x est un réel.

1. \cos ^{4}(x)

2. \sin ^{5}(x)

3. \cos ^{2}(x) \sin ^{3}(x)

4. \cos ^{3}(x)+2 \sin ^{3}(x)

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104

Démo

On rappelle que, pour tout réel \theta, on a : \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta). Démontrer par récurrence les formules de Moivre.

Histoire des maths

Abraham De Moivre (1667‑1754) est un mathématicien français exilé à Londres. Son étude des racines n‑ièmes d'un nombre le mettent sur la voie des relations qui portent son nom.

Gravure en noir et blanc d'Abraham de Moivre, mathématicien français du XVIIIe siècle.

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105
[Calculer.]
Soit x un nombre réel. 1. Développer (\cos (x)+\mathrm{i} \sin (x))^{3}.

2. À l'aide de la formule de Moivre, exprimer \cos (3 x)+\mathrm{i} \sin (3 x) en fonction de \cos (x) et \sin (x).

3. Démontrer que :
a. \cos (3 x)=4 \cos ^{3}(x)-3 \cos (x)

b. \sin (3 x)=-4 \sin ^{3}(x)+3 \sin (x)

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106
[Chercher.]
En utilisant la méthode de l'exercice précédent, exprimer, pour tout réel x, \cos (5 x) en fonction de \cos (x) puis \sin (5 x) en fonction de \sin (x).

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107
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\cos ^{5}(x). 1. Linéariser l'expression \cos ^{5}(x).

2. En déduire la valeur exacte de \int_{0}^{\normalsize{\tfrac{5 \pi}{6}}} f(x) \mathrm{d} x.

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108
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\sin ^{2}(x) \cos ^{3}(x).

1. Linéariser l'expression \sin ^{2}(x) \cos ^{3}(x).

2. En déduire la valeur exacte de \int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} f(x) \mathrm{d} x.

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