1

Dans un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}), on peut associer, à tout point \text{M} de coordonnées (x\,; y), le nombre complexe z=x+ \mathrm{i}y. On dit que z est l'affixe du point \text{M} et du vecteur \overrightarrow{\mathrm{OM}}.
On appelle module de z le nombre réel |z|=\mathrm{OM}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} et, pour z \neq 0, on appelle arguments de z les nombres \arg (z)=(\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{\mathrm{OM}})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}). Cela permet de :

✔ étudier des configurations géométriques ;
✔ résoudre des problèmes d'alignement de points et de parallélisme ou d'orthogonalité de droites.

2

Pour tout nombre complexe non nul de forme algébrique z=x+ \mathrm{i}y, on peut déterminer une forme trigonométrique |z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)) et une forme exponentielle |z| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}.
De plus, on a \cos(\alpha)=\frac{{x}}{|z|} et \sin(\alpha)=\frac{{y}}{|z|}. Cela permet de :

✔ simplifier le calcul de module et d'arguments d'un nombre complexe défini par une somme, un produit ou un quotient de nombres complexes ;
✔ résoudre des problèmes géométriques, en particulier ceux en lien avec des calculs d'angles.

3

Pour tout \theta \in \mathbb{R} et n \in \mathbb{N}, \cos (\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}}{2} et \sin (\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}}{2\mathrm{i}} (formules d'Euler) et \cos (n \theta)+\mathrm{i} \sin (n \theta)=(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta))^{n} (formule de Moivre). Cela permet de :

✔ linéariser des expressions trigonométriques ;
✔ simplifier l'étude de certaines suites et intégrales.

4

L'ensemble des solutions complexes de z^{n}=1 (où n \in \mathbb{N}^{*}) est \mathbb{U}_{n}=\{\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi k}{n}}}, k \in \mathbb{N}, 0 \leqslant k \leqslant n-1\}.
Cela permet de :

✔ résoudre certaines équations polynomiales dans \mathbb{C} ;
✔ étudier des configurations liées aux polygones réguliers.