D'après concours des écoles des mines, 2006
Soit f la fonction qui à un complexe z associe, lorsque c'est possible, f(z)=\frac{z^{2}}{z-2 \mathrm{i}}. 1. Déterminer le domaine de définition \mathcal{D} de f.

2. a. Déterminer les racines carrées complexes de 8-6 \mathrm{i}.

b. En déduire tous les antécédents de 1 + \mathrm{i} par f.

3. Soit h un nombre complexe. Discuter, suivant les valeurs de h, le nombre d'antécédents de h par f.

4. On désigne par f(\mathcal{D}) l'ensemble des éléments de z^\prime de \mathbb{C} tel qu'il existe z \in \mathcal{D} vérifiant z^{\prime}=f(z).
Si f(\mathcal{D})=\mathbb{C}, on dit que f est surjective.
a. Déterminer l'ensemble f(\mathcal{D}).

b. La fonction f est‑elle surjective ?

5. On dit que f est injective lorsque, pour tous nombres z et z^\prime de \mathcal{D}, si f(z)=f\left(z^{\prime}\right) alors z=z^{\prime}.
La fonction f est‑elle injective ?

Soit g la fonction définie sur \mathcal{D} à valeurs dans \mathbb{C} et telle que, pour tout z \in \mathcal{D},
6. Soit z=x+\mathrm{i} y un nombre complexe appartenant à \mathcal{D}.
a. Montrer que la partie réelle de g(z) est 2 x^{3}-2 x y^{2}-4 x y.

b. Déterminer la partie imaginaire de z.

D'après ENAC, 2016
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Soit \theta \in]-\pi\,; \pi[. On considère le nombre complexe z=1+\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta). 1. Le module de z vaut :

a. |z|=\sqrt{2+2 \cos \theta}.

b. |z|=2.

c. |z|=2 \cos \left(\frac{\theta}{2}\right).

d. |z|=\sqrt{2}+\cos \left(\frac{\theta}{2}\right).

2. Un argument de z vérifie :

a. \alpha=\frac{\theta}{2}+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}.

b. \alpha=\frac{\theta}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}.

c. \tan \alpha=\tan \left(\frac{\theta}{2}\right).

d. \tan \alpha=\tan \left(\frac{\theta}{2}\right)+k \pi, k \in \mathbb{Z}.

3. On obtient alors :

a. z=2 \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\theta}{2}}}.

b. z=2\left|\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\right| \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\theta}{2}}}.

c. z=2\left|\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\left(\cos \left|\frac{\theta}{2}\right|+\mathrm{i} \sin \left|\frac{\theta}{2}\right|\right).

d. z=2 \cos ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)\left(1+\mathrm{i}\operatorname{tan}\left(\frac{\theta}{2}\right)\right).

D'après ENAC, 2018
Soit a un paramètre réel. On considère l'équation : Déterminer les solutions de cette équation.

Aide

Soient a, b et c trois nombres complexes avec a \neq 0.
On admet que l'équation du second degré à coefficients complexes a z^{2}+b z+c=0 se résout de la même manière que les équations à coefficients réels :

• on calcule \Delta=b^{2}-4 a c ;
• on détermine \delta \in \mathbb{C} tel que \Delta=\delta^{2} ;
• on en déduit les solutions données par z_{1}=\frac{-b-\delta}{2 a} et z_{2}=\frac{-b+\delta}{2 a}.