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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
TP INFO 1
Ensembles de Julia
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Énoncé
L'ensemble de Julia, noté \text{J}_c, est l'ensemble des nombres complexes \omega tels que la suite (u_n) est bornée.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Questions préliminaires :
On pose c=0.
1. Quelle est la nature de la suite (u_n) lorsque \omega=0 ? Lorsque |\omega|=1 ?
2. Quels nombres complexes appartiennent alors précisément à l'ensemble de Julia \mathrm{J}_0 ?
On pose c=0.
1. Quelle est la nature de la suite (u_n) lorsque \omega=0 ? Lorsque |\omega|=1 ?
2. Quels nombres complexes appartiennent alors précisément à l'ensemble de Julia \mathrm{J}_0 ?
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Objectif
Étudier des propriétés de l'ensemble de Julia \mathrm{J}_{0}, c'est‑à‑dire lorsque c = 0, à l'aide d'une des deux méthodes.
Objectif
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Méthode 1GeoGebra
1. a. Construire le cercle de centre \mathrm{A}(0\,; 0) et de rayon 1 et choisir une fenêtre graphique comprise entre -3 et 3 en abscisse et en ordonnée.
b. Placer un nombre complexe z_0 de manière aléatoire dans le plan en utilisant l'outil correspondant.
c. Construire alors les points z_1 à z_9 puis déplacer z_0.
Que peut‑on observer en fonction de la position de z_0 ?
2. Démontrer que, si 0\lt|\omega|\lt1, alors la suite (u_n) est décroissante et converge, et que si |\omega|>1, alors la suite (u_n) est croissante et diverge.
3. Que vient‑on de démontrer pour l'ensemble \mathrm{J}_0 ?
GeoGebra
b. Placer un nombre complexe z_0 de manière aléatoire dans le plan en utilisant l'outil correspondant.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
c. Construire alors les points z_1 à z_9 puis déplacer z_0.
Que peut‑on observer en fonction de la position de z_0 ?
2. Démontrer que, si 0\lt|\omega|\lt1, alors la suite (u_n) est décroissante et converge, et que si |\omega|>1, alors la suite (u_n) est croissante et diverge.
3. Que vient‑on de démontrer pour l'ensemble \mathrm{J}_0 ?
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Méthode 2Python
On note, pour tout entier naturel n, z_{n}=x_{n}+\mathrm{i} y_{n} et \omega=\alpha+\mathrm{i} \beta, où \alpha, \beta, x_n et y_n sont des réels.
1. Exprimer les termes x_{n+1} et y_{n+1} en fonction des termes x_n et y_n.
2. a. Reproduire et compléter l'algorithme suivant, qui permet d'obtenir les valeurs successives de (u_n) pour n allant de 1 à 10 pour \alpha et \beta donnés.
b. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour des valeurs \omega telles que 0\lt|\omega|\lt1 et |\omega|>1.
Que peut‑on en conjecturer pour l'ensemble de Julia \mathrm{J}_0 ?
3. Démontrer que si 0\lt|\omega|\lt1, alors la suite (u_n) est décroissante et converge, et que si |\omega|>1, alors la suite (u_n) est croissante et diverge.
4. Que vient‑on de démontrer pour l'ensemble \mathrm{J}_0 ?
1. Exprimer les termes x_{n+1} et y_{n+1} en fonction des termes x_n et y_n.
2. a. Reproduire et compléter l'algorithme suivant, qui permet d'obtenir les valeurs successives de (u_n) pour n allant de 1 à 10 pour \alpha et \beta donnés.
\boxed{
\begin{array} { l }
\text {Fonction Julia } (\alpha , \beta) :\\
\quad {x} \leftarrow \alpha \\
\quad {y} \leftarrow \beta \\
\quad \text {Pour } k \text { allant de 1 à 10 faire :} \\
\quad \quad {a} \leftarrow {x} \\
\quad \quad {b} \leftarrow {y} \\
\quad \quad {x} \leftarrow \ldots \\
\quad \quad {y} \leftarrow \ldots \\
\quad \quad {\mathrm{U}} \leftarrow \ldots \\
\quad \quad \text {Afficher } \mathrm{U} \\
\quad \text {Fin Pour } \\
\end{array}
}
b. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour des valeurs \omega telles que 0\lt|\omega|\lt1 et |\omega|>1.
Que peut‑on en conjecturer pour l'ensemble de Julia \mathrm{J}_0 ?
3. Démontrer que si 0\lt|\omega|\lt1, alors la suite (u_n) est décroissante et converge, et que si |\omega|>1, alors la suite (u_n) est croissante et diverge.
4. Que vient‑on de démontrer pour l'ensemble \mathrm{J}_0 ?
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