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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Cours 2
Formes trigonométriques et exponentielles
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Dans cette partie, on considère un nombre complexe z non nul et \text{M} le point d'affixe z=x+\mathrm{i} y où x et y sont réels. On note \alpha=\arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
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AFormes trigonométriques
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Propriété
Pour tout nombre complexe non nul z=x+\mathrm{i} y, où x et y sont réels, on a x=|z| \cos (\alpha) et y=|z| \sin (\alpha).
De plus, z=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)) où \alpha=\arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
De plus, z=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)) où \alpha=\arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
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Lorsque z \neq 0, on a : {\cos (\alpha)=\frac{x}{|z|}} et {\sin (\alpha)=\frac{y}{|z|}.}
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Démonstration
On a \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\|\overrightarrow{u}\| \times \mathrm{OM} \times \cos (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=1 \times|z| \times \cos (\alpha).
Or le repère est orthonormé donc \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=1 \times x+0 \times y=x. Ainsi, x=|z| \cos (\alpha).
De plus, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\|\overrightarrow{v}\| \times \mathrm{OM} \times \cos (\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=1 \times|z| \times \sin (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=|z| \times \sin (\alpha)
Or \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=0 \times x+1 \times y=y donc y=|z| \sin (\alpha).
Donc z=x+\mathrm{i} y=|z| \cos (\alpha)+\mathrm{i}|z| \sin (\alpha)=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)).
Or le repère est orthonormé donc \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=1 \times x+0 \times y=x. Ainsi, x=|z| \cos (\alpha).
De plus, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\|\overrightarrow{v}\| \times \mathrm{OM} \times \cos (\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=1 \times|z| \times \sin (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=|z| \times \sin (\alpha)
Or \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=0 \times x+1 \times y=y donc y=|z| \sin (\alpha).
Donc z=x+\mathrm{i} y=|z| \cos (\alpha)+\mathrm{i}|z| \sin (\alpha)=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)).
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Définition
Tout nombre complexe z \neq 0 s'écrit sous la forme z=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)) appelée forme trigonométrique de z.
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Un nombre complexe z \neq 0 admet une infinité de formes trigonométriques |z|(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta), où \theta=\alpha+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
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Exemple
z=2\left[\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right] est une forme trigonométrique de z=\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{2}.
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Propriété
Pour tous nombres complexes z et z^{\prime} non nuls, on a :
z=z^{\prime} \Leftrightarrow\begin{cases}|z| = \left|z^{\prime}\right| \\ \arg (z) = \arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})\end{cases}
z=z^{\prime} \Leftrightarrow\begin{cases}|z| = \left|z^{\prime}\right| \\ \arg (z) = \arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})\end{cases}
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Autrement dit, z et z^{\prime} sont égaux si, et seulement si, ils ont le même module et le même argument à 2\pi près.
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Démonstration
- On suppose que z = z^{\prime}. Alors, |z|=\left|z^{\prime}\right| et \arg (z)=\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
- Réciproquement, on suppose que |z|=\left|z^{\prime}\right| et \arg (z)=\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi=\alpha+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
Alors, z=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha))=\left|z^{\prime}\right|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha))=z^{\prime}.
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Propriétés (Formules d'addition)
Pour tous réels a et b, on a :
1. \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b) et
\cos (a-b)=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
2. \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b) et
\sin (a-b)=\sin (a) \cos (b)-\cos (a) \sin (b).
1. \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b) et
\cos (a-b)=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
2. \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b) et
\sin (a-b)=\sin (a) \cos (b)-\cos (a) \sin (b).
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Démonstration
1. Soient a et b deux réels et on définit dans le plan complexe les points \mathrm{M}_{1}(\cos (a)+\mathrm{i} \sin (a)) et \mathrm{M}_{2}(\cos (b)+\mathrm{i} \sin (b)) appartenant au cercle trigonométrique.
Ainsi, \mathrm{OM}_{1}=\mathrm{OM}_{2}=1 et \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{1}\right)=\arg \left(z_{\mathrm{M}_{1}}\right)+k \times 2 \pi=a+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}),
\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{2}\right)=\arg \left(z_{\mathrm{M}_{2}}\right)+k \times 2 \pi=b+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
On a (\overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})=(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}})+k \times 2 \pi=b-a+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
On obtient donc \cos \left(\overrightarrow{\mathrm{OM}}_{1} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{2}\right)=\cos (b-a)=\cos (-(a-b))=\cos (a-b).
D'une part, \overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}}=\mathrm{OM}_{1} \times \mathrm{OM}_{2} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})=\cos (a-b) et, d'autre part, le repère étant orthonormé, \overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}}=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
D'où \cos (a-b)=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
Par ailleurs, \cos (a+b)=\cos (a-(-b))=\cos (a) \cos (-b)+\sin (a) \sin (-b)
soit \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b) puisque \cos (-b)=\cos (b) et \sin (-b)=-\sin (b).
2. Pour tout réel x, \cos (x)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) et \sin (x)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right).
Pour tous réels a et b, \sin (a+b)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-(a+b)\right)=\cos \left(\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-b\right) =\cos \left(\frac{\pi}{2}-a\right) \cos (b)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-a\right) \sin (b) =\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b).
Pour tous réels a et b, \sin (a-b)=\sin (a+(-b))=\sin (a) \cos (-b)+\cos (a) \sin (-b) =\sin (a) \cos (b)-\cos (a) \sin (b).
Ainsi, \mathrm{OM}_{1}=\mathrm{OM}_{2}=1 et \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{1}\right)=\arg \left(z_{\mathrm{M}_{1}}\right)+k \times 2 \pi=a+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}),
\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{2}\right)=\arg \left(z_{\mathrm{M}_{2}}\right)+k \times 2 \pi=b+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
On a (\overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})=(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}})+k \times 2 \pi=b-a+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
On obtient donc \cos \left(\overrightarrow{\mathrm{OM}}_{1} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{2}\right)=\cos (b-a)=\cos (-(a-b))=\cos (a-b).
D'une part, \overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}}=\mathrm{OM}_{1} \times \mathrm{OM}_{2} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})=\cos (a-b) et, d'autre part, le repère étant orthonormé, \overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}}=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
D'où \cos (a-b)=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
Par ailleurs, \cos (a+b)=\cos (a-(-b))=\cos (a) \cos (-b)+\sin (a) \sin (-b)
soit \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b) puisque \cos (-b)=\cos (b) et \sin (-b)=-\sin (b).
2. Pour tout réel x, \cos (x)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) et \sin (x)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right).
Pour tous réels a et b, \sin (a+b)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-(a+b)\right)=\cos \left(\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-b\right) =\cos \left(\frac{\pi}{2}-a\right) \cos (b)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-a\right) \sin (b) =\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b).
Pour tous réels a et b, \sin (a-b)=\sin (a+(-b))=\sin (a) \cos (-b)+\cos (a) \sin (-b) =\sin (a) \cos (b)-\cos (a) \sin (b).
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Si \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont trois vecteurs non nuls, on admet la relation de Chasles des angles orientés :
(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})+(\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) et
(\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{u})=-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
(\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{u})=-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
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Propriétés (Formules de duplication)
Pour tout réel a, on a :
1. \cos (2 a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2 \cos ^{2}(a)-1=1-2 \sin ^{2}(a)
2. \sin (2 a)=2 \sin (a) \cos (a)
1. \cos (2 a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2 \cos ^{2}(a)-1=1-2 \sin ^{2}(a)
2. \sin (2 a)=2 \sin (a) \cos (a)
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Démonstration
Voir exercice p. 71.
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Propriétés
Pour tous nombres complexes non nuls z et z^{\prime} et pour tout entier naturel n, on a :
1. \arg (\overline{z})=-\arg (z)+k \times 2 \pi et \arg (-z)=\arg (z)+\pi+k \times 2 \pi avec k \in \mathbb{Z}.
2. \arg \left(z \times z^{\prime}\right)=\arg (z)+\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi et \arg \left(z^{n}\right)=n \arg (z)+k \times 2 \pi avec k \in \mathbb{Z}.
3. \arg \left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)=\arg (z)-\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi avec k \in \mathbb{Z}.
1. \arg (\overline{z})=-\arg (z)+k \times 2 \pi et \arg (-z)=\arg (z)+\pi+k \times 2 \pi avec k \in \mathbb{Z}.
2. \arg \left(z \times z^{\prime}\right)=\arg (z)+\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi et \arg \left(z^{n}\right)=n \arg (z)+k \times 2 \pi avec k \in \mathbb{Z}.
3. \arg \left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)=\arg (z)-\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi avec k \in \mathbb{Z}.
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L'égalité 2. est en réalité vraie pour tout n \in \mathbb{Z}.
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Démonstration
Voir exercice p. 71.
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Application et méthode - 3
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Énoncé
1. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z=4\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right].2. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe z^{\prime}=-5-5 \mathrm{i} \sqrt{3}.
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1. Pour passer d'une forme trigonométrique à la forme algébrique d'un nombre complexe, on doit déterminer les valeurs de \cos (\alpha) et \sin (\alpha) puis on développe.
2. Pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul, on doit :
2. Pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul, on doit :
- calculer le module de z ;
- calculer \cos (\alpha)=\frac{x}{|z|} et \sin (\alpha)=\frac{y}{|z|} ;
- obtenir une valeur de \alpha correspondant.
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Solution
1. On sait que \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{1}{2} et \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Donc z=4\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2+2 \mathrm{i} \sqrt{3}.
2. On a \left|z^{\prime}\right|=\sqrt{(-5)^{2}+\left(-5 \sqrt{3}\right)^{2}}=10.
De plus, \cos (\alpha)=\frac{x}{|z|}=-\frac{5}{10}=-\frac{1}{2} et \sin (\alpha)=-\frac{5 \sqrt{3}}{10}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Donc \alpha=-\frac{2 \pi}{3} convient.
Une forme trigonométrique de z est donc :
z=10\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right].
Donc z=4\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2+2 \mathrm{i} \sqrt{3}.
2. On a \left|z^{\prime}\right|=\sqrt{(-5)^{2}+\left(-5 \sqrt{3}\right)^{2}}=10.
De plus, \cos (\alpha)=\frac{x}{|z|}=-\frac{5}{10}=-\frac{1}{2} et \sin (\alpha)=-\frac{5 \sqrt{3}}{10}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Donc \alpha=-\frac{2 \pi}{3} convient.
Une forme trigonométrique de z est donc :
z=10\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right].
Pour s'entraîner
Exercices et p. 67
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BFormes exponentielles imaginaires
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Définition
Pour tout réel \alpha, on définit l'exponentielle imaginaire (ou exponentielle complexe) de \alpha par \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}=\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha).
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\mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \pi}=1 et \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}=\mathrm{i}.
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Propriété (Relation fonctionnelle de l'exponentielle imaginaire)
Pour tous réels \alpha et \alpha^{\prime}, \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}.
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Cette relation permet notamment de retrouver les formules d'addition.
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Démonstration
Voir exercice p. 72.
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Propriété
Pour tout réel \alpha, on a \left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}\right|=1 et \arg \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}\right)=\alpha+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
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Démonstration
Voir exercice p. 72.
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Définition
Tout nombre complexe z \neq 0 s'écrit sous une de ses formes exponentielles z=|z| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}, où \alpha=\arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
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Propriété
Soient z et z^{\prime} deux nombres complexes non nuls tels que z=|z| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} et z^{\prime}=\left|z^{\prime}\right| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}.
Alors z \times z^{\prime}=|z| \times\left|z^{\prime}\right| \times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}, pour tout n \in \mathbb{N}, z^{n}=|z|^{n} \mathrm{e}^{n \mathrm{i} \alpha} et \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)}.
Alors z \times z^{\prime}=|z| \times\left|z^{\prime}\right| \times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}, pour tout n \in \mathbb{N}, z^{n}=|z|^{n} \mathrm{e}^{n \mathrm{i} \alpha} et \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)}.
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Démonstration
Voir exercice p. 72.
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Exemple
Pour {z=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{2 \pi}{3}}}} et {z^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}}, on a {z z^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\normalsize{\tfrac{2 \pi}{3}}+\normalsize{\tfrac{\pi}{4}}\right)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{11 \pi}{12}}}}.
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Application et méthode - 4
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Énoncé
Déterminer une forme exponentielle du nombre {z=(-1-\mathrm{i})(3+3 \mathrm{i} \sqrt{3}).}
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- On détermine le module et un argument de chaque facteur.
- On utilise les propriétés opératoires pour conclure.
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Solution
|z|=|-1-\mathrm{i}| \times|3+3 \mathrm{i} \sqrt{3}|=\sqrt{2} \times \sqrt{36}=6 \sqrt{2}.
\arg (z)=\arg (-1-\mathrm{i})+\arg (3+3 \mathrm{i} \sqrt{3})+k \times 2 \pi
=\frac{-3 \pi}{4}+\frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi=\frac{-5 \pi}{12}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
Par conséquent, z=6 \sqrt{2} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{-5 \mathrm{i} \pi}{12}}}.
\arg (z)=\arg (-1-\mathrm{i})+\arg (3+3 \mathrm{i} \sqrt{3})+k \times 2 \pi
=\frac{-3 \pi}{4}+\frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi=\frac{-5 \pi}{12}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
Par conséquent, z=6 \sqrt{2} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{-5 \mathrm{i} \pi}{12}}}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 67
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CFormules d'Euler et de Moivre
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Formules d'Euler
Pour tout \theta \in \mathbb{R}, on a \cos (\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}}{2} et \sin (\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}}{2 \mathrm{i}}.
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Démonstration
Voir exercice p. 73.
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Formule de Moivre
Pour tous \theta \in \mathbb{R} et n \in \mathbb{Z}, on a \cos (n \theta)+\mathrm{i} \sin (n \theta)=(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta))^{n}.
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Démonstration
Voir exercice p. 73.
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Application et méthode - 5
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Énoncé
Exprimer \cos ^{3}(x) en fonction d'une somme de cosinus de la forme \cos (n x), où n \in \mathbb{N}. On dit que l'on linéarise \cos ^{3}(x).
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Pour linéariser, il faut se servir des formules d'Euler, puis développer.
On utilise ensuite les propriétés opératoires sur les exponentielles complexes, puis on utilise de nouveau les formules d'Euler.
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Solution
D'après les formules d'Euler, on a : \cos (x)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}.
Donc : \cos ^{3}(x)=\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}\right)^{3}
=\frac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right)^{3}+3\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right)^{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)^{2}+\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)^{3}}{8}
=\frac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} x} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} \mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{8}
=\frac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{8}
=\frac{1}{4} \times \frac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{2}+\frac{3}{4} \times \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}
=\frac{1}{4} \cos (3 x)+\frac{3}{4} \cos (x)
Donc : \cos ^{3}(x)=\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}\right)^{3}
=\frac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right)^{3}+3\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right)^{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)^{2}+\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)^{3}}{8}
=\frac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} x} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} \mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{8}
=\frac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{8}
=\frac{1}{4} \times \frac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{2}+\frac{3}{4} \times \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}
=\frac{1}{4} \cos (3 x)+\frac{3}{4} \cos (x)
Pour s'entraîner
Exercices p. 67 et p. 73
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