1. On appelle transformation du plan toute fonction qui, à tout point \text{M} du plan, associe un unique point \mathrm{M}^{\prime} du plan, et telle que tout point du plan possède un, et un seul, antécédent par cette fonction.
2. Soit \overrightarrow{t} un vecteur. La translation de vecteur \overrightarrow{t} est la transformation du plan qui, à tout point \text{M}, associe le point \mathrm{M}^{\prime} tel que \overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}=\overrightarrow{t}.
3. Soient \Omega un point du plan et k un réel non nul. L'homothétie de centre \Omega et de rapport k est une transformation du plan qui, à tout point \text{M} du plan, associe le point \mathrm{M}^{\prime} tel que \overrightarrow{\Omega \mathrm{M}^{\prime}}=k \overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}.
4. Soient \Omega un point du plan et \theta un réel. La rotation de centre \Omega et d'angle \theta est une transformation du plan qui, à tout point \mathrm{M} du plan, associe le point \mathrm{M}^{\prime} tel que \Omega \mathrm{M}=\Omega \mathrm{M}^{\prime} et (\overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}\,; \overrightarrow{\Omega \mathrm{M}^{\prime}})=\theta+k \times 2 \pi, k \in \mathbb{Z}.
5. Une fonction f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} est une similitude directe lorsqu'il existe deux nombres complexes a \neq 0 et b tels que, pour tout z \in \mathbb{C}, f(z)=a z+b.

Soit f la fonction définie, pour tout z \in \mathbb{C}, f(z)=(3+\mathrm{i}) z+2+\mathrm{i}. f est une similitude directe. Cette application n'a qu'un point fixe, c'est‑à‑dire un complexe vérifiant f\left(z_{0}\right)=z_{0} (avec z_{0}=-1).

Dans cet exercice, \text{M} désigne un point du plan d'affixe z \in \mathbb{C}. Le point \mathrm{M}^\prime d'affixe z^{\prime} \in \mathbb{C} est l'image du point \text{M} par une transformation du plan. 1. On suppose que la transformation du plan est une translation de vecteur \overrightarrow{t} d'affixe b.
Montrer que z^{\prime}=z+b.

2. On suppose que la transformation du plan est une homothétie de centre \Omega, d'affixe \omega, et de rapport k.
Montrer que z^{\prime}=\omega+k(z-\omega).

3. On suppose que la transformation du plan est une rotation de centre \Omega, d'affixe \omega, et d'angle \theta.
Montrer que z^{\prime}=\omega+e^{\mathrm{i} \theta}(z-\omega).

4. Justifier que les transformations précédentes sont toutes des similitudes directes.

D'après bac S, Antilles - Guyane, juin 2012
Soit la transformation f qui, à tout point \text{M} d'affixe z, associe le point \mathrm{M}^\prime d'affixe z^\prime tel que : 1. Montrer que cette transformation admet un unique point fixe \Omega d'affixe \omega=-2-2 \mathrm{i}.

2. Montrer qu'il existe a \in \mathbb{C} tel que, pour tout z \in \mathbb{C}, on a z^{\prime}-\omega=a(z-\omega). On précisera la valeur de a.

3. Déterminer une forme exponentielle de a.

4. En déduire que f est la composée d'une rotation et d'une homothétie. On précisera ses éléments caractéristiques.

D'après bac S, La Réunion, juin 2011
Soit la transformation f qui, à tout point \text{M} d'affixe z, associe le point \mathrm{M}^\prime d'affixe z^\prime tel que : Montrer que f est une rotation dont on précisera ses éléments caractéristiques.

On dit qu'une transformation du plan f conserve les longueurs lorsque, pour tous points \text{A} et \text{B} du plan, si \mathrm{A}^\prime et \mathrm{B}^\prime désignent les images respectives de \text{A} et \text{B} par f, on a \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}=\mathrm{AB}.
Quelles sont les conditions pour qu'une similitude directe conserve les longueurs ?