Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}), on associe, à tout point \text{M} d'affixe z\neq-2, le point \mathrm{M}^\prime d'affixe z^{\prime}=\frac{\mathrm{i} z+3+3 \mathrm{i}}{z+2}.
On note f: z \mapsto z^{\prime} cette transformation du plan et on cherche à déterminer quelques propriétés de cette transformation.

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Partie 1

1. Exprimer sous forme algébrique l'affixe de :
a. \mathrm{A}^\prime, l'image par f du point \mathrm{A} d'affixe z_{\mathrm{A}}=4-2 \mathrm{i}.

b. \text{B}, l'unique antécédent par f du point \mathrm{B}^\prime d'affixe z_{\mathrm{B}^{\prime}}=2-4 \mathrm{i}.

2. On considère z=x+\mathrm{i} y une solution de l'équation (\mathrm{G}): z^{2}=15+8 \mathrm{i}, où x et y sont des réels.
a. Montrer alors que \left\{\begin{aligned} x^{2}-y^{2} &=15 \\ x y &=4 \\ x^{2}+y^{2} &=17 \end{aligned}\right..

Aide

On rappelle que |z|^{2}=x^{2}+y^{2}.

b. En déduire une solution de (\mathrm{G}).

3. Un point \text{M} d'affixe z est dit invariant par f lorsque f(z)=z.
a. Montrer que si z est l'affixe d'un point invariant, alors z est solution de :

(\mathrm{F}): z^{2}+(2-\mathrm{i}) z-3-3 \mathrm{i}=0.

b. À l'aide de la question 2., en déduire les affixes des points fixes de f.

Remarque

Pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes a z^{2}+b z+c=0 :

on calcule \Delta=b^{2}-4 a c ;
on détermine \delta \in \mathbb{C} tel que \delta^{2}=\Delta ;
les solutions sont alors données par z_{1}=\frac{-b-\delta}{2 a} et z_{2}=\frac{-b+\delta}{2 a}.

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Partie 2

1. Soit z=x+\mathrm{i} y, où x et y sont réels.
Montrer alors que :

z^{\prime}=\frac{3 x+y+6}{(x+2)^{2}+y^{2}}+\mathrm{i} \frac{x^{2}+5 x+y^{2}-3 y+6}{(x+2)^{2}+y^{2}}.

2. Décrire précisément l'ensemble des points \text{M} lorsque :
a. \mathrm{M}^\prime appartient à l'axe des abscisses.

b. \mathrm{M}^\prime appartient à l'axe des ordonnées.

c. \operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right).

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Partie 3

1. Déterminer les complexes z_{\mathrm{C}} et z_{\mathrm{D}} tels que :

z^{\prime}=\frac{\mathrm{i}\left(z-z_{\mathrm{C}}\right)}{z-z_{\mathrm{D}}}.

2. Interpréter géométriquement le module et un argument de \frac{\mathrm{i}\left(z-z_{\mathrm{C}}\right)}{z-z_{\mathrm{D}}}.

3. Décrire précisément l'ensemble des points \text{M}, dans les cas où \mathrm{M}^\prime appartient :
a. à l'axe des abscisses.

b. à l'axe des ordonnées.

c. au cercle de centre \text{O} et de rayon 1.

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Mise en commun

1. Déterminer sous forme exponentielle les affixes des points fixes de cette transformation.

2. Caractériser l'ensemble des points \mathrm{M}(z) tels que :
a. z^{\prime}=\overline{z}.

b. z^{\prime}=-\overline{z}.

c. \left|z^{\prime}\right|=1.

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