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Algorithmique et programmation
Dossier Scratch
Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres relatifs
Ch. 2
Addition et soustraction de nombres rationnels
Ch. 3
Multiplication et division de nombres rationnels
Ch. 4
Puissances
Ch. 5
Calcul littéral
Ch. 6
Résolution d'équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 7
Statistiques
Ch. 8
Probabilités
Ch. 9
Notion de fonctions
Ch. 10
Proportionnalité
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 11
Théorème de Thalès
Ch. 12
Propriétés des triangles rectangles
Ch. 13
Géométrie plane
Ch. 14
Géométrie dans l'espace
Prolongement
Chapitre 4
Activités
Puissances
10 professeurs ont participé à cette page
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Histoire des maths
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Autour des puissances
On trouve des traces d'une notation pour indiquer des puissances dès l'Antiquité égyptienne : un symbole numérique placé au-dessus d'un nombre multiplie ce nombre par ce symbole. Par exemple, \text{1~000} placé au dessus de \text{5} indique 5\times 1~000=5\times 10^{3}.
Les numérations de position, comme la numération des nombres décimaux que nous utilisons, est une forme cachée d'utilisation de puissances. À l'origine des « nombres arabes » on retrouve les numérations indiennes qui existent depuis le Ve siècle av. J.-C. Un nombre comme \text{2~754} s'écrivait sous la forme \text{4~;~5~dix~;~7~cent} et \text{2~mille}, c'est-à-dire 4 \times 10^{0}+5 \times 10^{1}+7 \times 10^{2}+2 \times 10^{3}. Avec le temps, les mathématiciens indiens ont pris l'habitude de ne plus nommer les puissances de \text{10} et le nombre \text{2~754} était énuméré \text{4~; 5~;~7~;~2}. Mais quand un multiple d'une puissance de \text{10} n'était pas présent, comment énumérer ce nombre ? Les Indiens ont alors pensé à utiliser le mot « vide ». Par exemple, \text{803} s'énumérait : \text{3} ; vide ; \text{8}. Puis un symbole est venu remplacer ce mot « vide » : le zéro.
Les numérations de position, comme la numération des nombres décimaux que nous utilisons, est une forme cachée d'utilisation de puissances. À l'origine des « nombres arabes » on retrouve les numérations indiennes qui existent depuis le Ve siècle av. J.-C. Un nombre comme \text{2~754} s'écrivait sous la forme \text{4~;~5~dix~;~7~cent} et \text{2~mille}, c'est-à-dire 4 \times 10^{0}+5 \times 10^{1}+7 \times 10^{2}+2 \times 10^{3}. Avec le temps, les mathématiciens indiens ont pris l'habitude de ne plus nommer les puissances de \text{10} et le nombre \text{2~754} était énuméré \text{4~; 5~;~7~;~2}. Mais quand un multiple d'une puissance de \text{10} n'était pas présent, comment énumérer ce nombre ? Les Indiens ont alors pensé à utiliser le mot « vide ». Par exemple, \text{803} s'énumérait : \text{3} ; vide ; \text{8}. Puis un symbole est venu remplacer ce mot « vide » : le zéro.
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Activité 1Oh la vache !
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François dirige une coopérative qui est composée de \text{10} exploitations de vaches, chacune située sur une montagne différente. Sur chacune des montagnes se trouvent \text{10} collines. Sur chaque colline se trouvent \text{10} chiens qui surveillent chacun \text{10} vaches. Chacune de ces vaches produit \text{10~L} de lait par jour.
On souhaite connaître la production journalière de lait du troupeau de François.
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1
Répondre aux questions suivantes en ne faisant aucun calcul.
a) Par quel nombre faut-il multiplier le nombre de montagnes pour obtenir le nombre de collines ?
b) Par quel nombre faut-il multiplier le nombre de collines pour obtenir le nombre de chiens ?
c) Par quel nombre faut-il multiplier le nombre de chiens pour obtenir le nombre de vaches ?
d) Par quel nombre faut-il multiplier le nombre de vaches pour obtenir le nombre de litres de lait produits chaque jour ?
2
Quel calcul permet de déterminer la production journalière de lait du troupeau de François ?Effectuer le calcul et répondre au problème.
Bilan
Conjecturer la signification de la notation 10^{k} lorsque k est un nombre entier positif.
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Activité 2Grand ou petit ?
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1
Recopier et compléter les égalités suivantes.
a) 23~500=2~350 \times \ldots=2~350 \times 10^{\dots}
b) 23~500=235 \times \ldots=235 \times 10^{\dots}
c) 23~500=23,5 \times \ldots=23,5 \times 10^{\dots}
b) 23~500=235 \times \ldots=235 \times 10^{\dots}
c) 23~500=23,5 \times \ldots=23,5 \times 10^{\dots}
d) 23~500=2,35 \times \ldots=2,35 \times 10^{\dots}
e) 23~500=0,235 \times \ldots=0,235 \times 10^{\dots}
f) 23~500=0,0235 \times \ldots=0,0235 \times 10^{\dots}
e) 23~500=0,235 \times \ldots=0,235 \times 10^{\dots}
f) 23~500=0,0235 \times \ldots=0,0235 \times 10^{\dots}
2
On appelle notation scientifique d'un nombre l'unique écriture de ce nombre sous la forme a \times 10^{n} où 1 \leqslant a \text{\textless} \text{10} et n est un nombre entier relatif. Par exemple, la notation scientifique de 7~200 est 7,2 \times 10^{3}.Parmi les six écritures précédentes, laquelle est la notation scientifique de \text{23~500} ? En utilisant le même raisonnement, donner la notation scientifique de \text{0,005~6}.
3
L'écriture des nombres très grands et des nombres très proches de \text{0} est assez contraignante et source d'erreurs. Par exemple, la distance moyenne entre la Terre et le Soleil est environ \text{150~000 000~000} mètres et la taille moyenne d'un atome est
\text{0,000~000~000~1} mètre.
a. Donner la notation scientifique de la distance entre la Terre et le Soleil, ainsi que celle de la taille moyenne d'un atome.
b. La distance moyenne Terre-Mars est environ 2,25 \times 10^{8}~\text{km}. La Terre est-elle en moyenne plus proche de Mars ou du Soleil ? Justifier.
Bilan
Comment déterminer la notation scientifique d'un nombre ?
Déterminer un ou plusieurs intérêts de la notation scientifique d'un nombre décimal.
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Activité 3Un tout petit grain de riz
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Une légende indienne raconte que, pour avoir inventé le jeu d'échecs, le sage Sissa demanda à son roi une très étrange récompense. Il demanda du riz, mais disposé d'une façon bien particulière : sur la case numéro \text{1} de son échiquier, il demanda qu'on place un grain de riz, sur la case numéro \text{2}, le double du nombre de grains de la case \text{1}, sur la case numéro \text{3}, le double du nombre de la case numéro \text{2} et ainsi de suite.
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1
Déterminer le nombre de grains de riz présents sur chacune des cinq premières cases. Combien de grains de riz au total le roi a-t-il dû déposer sur ces cinq cases ?2
Déterminer le nombre de grains de riz présents sur la case numéro \text{10}.Bilan
Sachant qu'un échiquier possède \text{64} cases, combien de grains de riz se trouveront sur la dernière case ? Répondre à l'aide de la notation « puissance ». Qu'affiche la calculatrice ?
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Oups, une coquille
j'ai une idée !
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah