2. Soit (x_0 ; y_0) une solution particulière. On définit les suites arithmétiques (x_n) de premier terme x_0 et de raison 27 et (y_n) de premier terme y_0 et de raison 4.
Montrer que, pour tout n \in \N, le couple (x_n ; y_n) est solution.

3. À l'aide de la calculatrice, déterminer, en utilisant la question 1., dix couples solutions de l'équation.

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87
[Représenter.]

1. Montrer que l'équation \text{(E)} : 54x + 42y = 24 est équivalente à 9x + 7y = 4 et qu'elle admet une solution dans \Z^{2}.

2. Déterminer une solution particulière de \text{(E)}.

3. Justifier que les solutions entières de l'équation \text{(E)} sont, dans un repère du plan, des coordonnées de points de la droite d'équation y = - \dfrac{9}{7} x + \dfrac{4}{7} .

4. À l'aide du mode tableur de la calculatrice et en utilisant la fonction x \rightarrow - \dfrac{9}{7} x + \dfrac{4}{7} , construire, à l'aide d'une valeur initiale et d'un pas bien choisi, un tableau ne faisant apparaître que des points de la droite à coordonnées entières.

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88
Démo
[Raisonner.]
Le but de cet exercice est de démontrer la propriété : « Pour tous a, b, c entiers tels que a et b ne soient pas simultanément nuls, l'équation ax + by = c admet des solutions si, et seulement si, c est un multiple de \text{PGCD}(a \;; b). » 1. Montrer que si l'équation ax + by = c admet des solutions, alors \text{PGCD}(a \;; b) | c.

2. Réciproquement, supposons que c est un multiple de \text{PGCD}(a \;; b). Soit c' l'entier tel que c = c' \text{PGCD}(a \;; b). Déduire de l'identité de Bézout qu'il existe un couple solution de l'équation ax + by = c.

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89
[Raisonner.]
Soit (m \;; n) \in \N^{*2}. Montrer qu'il existe (a \;; b) \in \Z^2 tel que \dfrac{1}{nm} = \dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{m} si, et seulement si, m et n sont premiers entre eux.

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90
[Communiquer.]

1. Soit n \in \N^*. Justifier que si n n'est pas un multiple de 3, alors n et 3 sont premiers entre eux.

2. En utilisant le théorème de Bézout, montrer que si n est premier avec 3, alors n^3 est premier avec 9.

3. Démontrer par contraposée la proposition : « Pour tout n \in \N non nul, si 9 | n^3, alors 3 | n. »

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91
[Calculer.]

On souhaite constituer des colis de bloc-notes et de cartouches d'encre. Un bloc-note pèse 702 g et une cartouche d'encre pèse 45 g. 1. Le service de livraison propose des tarifs pour des colis de poids inférieur à 2 kg, 3 kg, 4,5 kg ou 9 kg. Parmi ces poids, quels sont ceux qui peuvent être exactement atteints avec ces fournitures ? Justifier.

2. Déterminer une constitution possible pour un colis pesant exactement 4,5 kg.

3. Déterminer, à l'aide de la remontée de l'algorithme d'Euclide, un couple de Bézout associé aux entiers 702 et 45. Peut on utiliser ce couple dans ce contexte ?

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Vrai / Faux

[Calculer.]
Déterminer en justifiant si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. 1. Il existe un entier naturel n tel que \dfrac{n - 7}{18} et \dfrac{n - 8}{15} soient tous les deux entiers.

2. Il existe un entier naturel n tel que \dfrac{n - 3}{16} et \dfrac{n - 11}{12} soient tous les deux entiers.

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Approfondissement

[Communiquer.]

On souhaite chiffrer un texte en français avec des accents, ce qui donne un alphabet à 35 lettres. Chaque lettre est alors associée à un entier entre 0 et 34.

1. On choisit la fonction de chiffrement affine f : x \rightarrow 10x + 3 qui, à tout entier x \in \{0 \:; ... \:; 34\}, associe l'entier y \in \{0 \:; ... \:; 34\} tel que y \equiv 10x + 3 [35].
a. Soit y \in \{0 \:; ... \:; 34\}.
Montrer que si y \equiv 10x + 3 [35], alors il existe k \in \Z tel que 10x+35k = y-3.

b. Pour quelles valeurs de y cette équation admet‑elle des solutions entières ?

c. Que peut‑on en déduire pour cette fonction de chiffrement ?

2. On choisit la fonction de chiffrement affine g : x \rightarrow 8x + 5 qui, à tout entier x \in \{0 \:; ... \:; 34\}, associe l'entier y \in \{0 \:; ... \:; 34\} tel que y \equiv 8x + 5 [35].
a. Justifier qu'il existe a \in \Z tel que 8a \equiv 1 [35] puis déterminer un tel entier.

b. En déduire que, pour tout y \in \{0 \:; ... \:; 34\}, l'équation y \equiv 8x + 5 [35] admet une unique solution x \in \{0 \:; ... \:; 34\} et écrire la fonction de décodage permettant de la déterminer.

c. Quel est l'entier qui est chiffré par 9 avec cette fonction de chiffrement ?

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94
[Communiquer.]

On souhaite chiffrer un texte en français en tenant compte des accents, ce qui donne un alphabet à 35 lettres. On a choisi la fonction de chiffrement affine h : x \rightarrow 7x + 1 qui, à tout entier x \in \{0 \:; ...\:; 34\}, associe l'entier y \in \{0 \:; ...\:; 34\} défini par y \equiv h(x) [35].
L'objectif est de montrer que cette fonction de codage est ambigüe. 1. Montrer par l'absurde et en utilisant le théorème de Bézout que 7x + 1 ne peut pas être congru à 2 modulo 35. Que peut‑on en déduire sur la lettre associée au nombre 2 dans le message chiffré ?

2. a. Déterminer deux entiers x \in \{0 \:; ...\:; 34\} codés par 8.

b. Combien d'entiers x \in \{0 \:; ...\:; 34\} sont codés par 8 ?

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95
[Calculer.]
On cherche à résoudre un problème de la forme \left\{\begin{array}{c}x \equiv a [3 ] \\ x \equiv b [5 ] \\ x \equiv c [7]\end{array}\right. où a, b et c sont des entiers naturels non nuls. 1. Montrer que s'il existe des entiers \alpha, \beta et \gamma tels que \left\{\begin{array}{c}35 \times \alpha \equiv 1[3 ] \\ 21 \times \beta \equiv 1[5 ] \\ 15 \times \gamma \equiv 1 [7]\end{array}\right., alors pour tout k \in \Z,
x = 35\alpha \times a + 21\beta \times b + 15\gamma \times c + 105 \times k est solution du système.

2. Justifier l'existence de ces entiers \alpha, \beta et \gamma puis déterminer un triplet qui convient.

3. En déduire un ensemble de solutions du système. A-t-on démontré que cet ensemble les contient toutes ?

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96
[Représenter.]
D'après bac S, Centres étrangers, juin 2009

On note (\text{E}) l'équation 3x + 2y = 29.

1. a. Déterminer un couple d'entiers solution de \text{(E)}.

b. On admet que les solutions sont données, pour tout entier k, par (11 - 2k \;; 3k - 2).
Préciser les couples solutions pour lesquels on a à la fois x ≥ 0 et y ≥ 0.

2. Soient \text{S} la surface d'équation 4z = xy dans un repère et \text{P} son intersection avec le plan d'équation 3x + 2y = 29.
a. Soit (x \:; y \:; z) un point de \text{P} à coordonnées entières. Montrer que \text{PGCD}(x \:; 4) = 1 et en déduire que 4 divise y.

b. Construire une table de congruence modulo 4 afin de déterminer, parmi les solutions de \text{(E)}, lesquelles vérifient y \equiv 0 [4].

c. En déduire l'expression des coordonnées des points de \text{P} à coordonnées entières.

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