Mathématiques Expertes Terminale
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
PGCD et applications
Ouverturep. 116-117
Activités
Activitép. 118-119
1. PGCD
Coursp. 120-122
2. Nombres premiers entre eux
Coursp. 123-125
3. Théorème de Gauss et applications
Coursp. 126-127
L'essentiel
Fiches de révision - Exclusivité numériquep. 128
Auto-évaluation
Auto-évaluationp. 129
TP1 : Chiffrement affine
TP / TICEp. 130
TP2 : Établir un calendrier
TP / TICEp. 131
Travailler les automatismes
Exercicesp. 132-133
1. PGCD
Exercicesp. 134-136
2. Nombres premiers entre eux
Exercicesp. 136-137
3. Théorème de Gauss et applications
Exercicesp. 138-139
Synthèse
Synthèsep. 140-143
Exercices de révision
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Exercices transversaux
Exercicesp. 238-243
Se préparer au Grand Oral
Grand oral
Présentation du Grand Oral
Grand oral
Conseils pour le Grand Oral
Méthode
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 4
Exercices

Travailler les automatismes

8 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
À l'oral
Envie de réaliser ces exercices à l'oral ? Enregistrez-vous !
Enregistreur audio
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
21
Déterminer le \text{PGCD} des entiers suivants. 1. 12 et 54.
2. 45 et 540.
3. 56 et 105
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
22
On veut découper une planche rectangulaire de 204 cm par 138 cm en carrés de même taille et sans perte.
Donner toutes les dimensions possibles de ces carrés.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
23
Pour chacune des équations diophantiennes suivantes, déterminer en justifiant si elles admettent ou non un couple d'entiers (x\:; y) solution. 1. 51 x+39 y=2020.
2. 51 x+39 y=2019
3. 23 x+42 y=2021
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
24
On dispose de 78 clés USB et de 120 stylos à partir desquels on souhaite constituer des lots identiques sans qu'il ne reste d'objet. 1. Quel est le plus grand nombre de lots réalisables ?
2. De combien de clés USB et de combien de stylos ces lots sont‑ils constitués ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
25
Pour chacune des équations diophantiennes suivantes, déterminer sans calculatrice un couple d'entiers solution. 1. 15 x-4 y=1
2. 21 x+6 y=3
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
26
Déterminer l'ensemble des couples d'entiers (x\:; y) vérifiant les équations suivantes. 1. 12 x+5 y=0
2. 51 x+18 y=0
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
27
On possède un nombre d'objets inférieur à 500. Si on les range par 10 ou par 9, il en reste toujours 3. Combien peut‑on avoir d'objets ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
\mathbf{PGCD}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
28
Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que \operatorname{PGCD}(72\:; n)=6 et n \leqslant 72.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
29
Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que \operatorname{PGCD}(180 \:; n)=12 et n \leqslant 180.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
30
Par soustractions successives, montrer que :

1. \operatorname{PGCD}(123 \:; 76)=1.
2. \operatorname{PGCD}(98 \:; 38)=2.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
31
Écrire la division euclidienne de 1~420 par 24 et en déduire le \text{PGCD} de 1~420 et 24.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
32
Justifier que, pour tout n \in \mathbb{N}, le \text{PGCD} de 26n + 7 et n est 7 si n est un multiple de 7 et 1 si n n'est pas un multiple de 7.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
33
Déterminer l'ensemble des couples (x \:; y) \in \mathbb{N}^{2} tels que xy = 6348 et \operatorname{PGCD}(x\:; y)=23.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
34
Déterminer l'ensemble des couples (m\:; n) \in \mathbb{N}^{2} tels que :

1. mn = 5400 et \operatorname{PGCD}(m\:; n)=15.
2. m^{2}-n^{2}=1620 et \operatorname{PGCD}(m\:; n)=6.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
35
Déterminer l'ensemble des couples (a\:; b) \in \mathbb{N}^{2} tels que a + b = 72 et \operatorname{PGCD}(a \:; b)=9.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
36
Démontrer les propositions suivantes. 1. Tout entier est premier avec son successeur.
2. Tout entier impair est premier avec l'entier impair suivant.
3. Pour tout couple d'entiers pairs successifs, leur \text{PGCD} est égal à 2.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Algorithme d'Euclide
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
37
À l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer le \text{PGCD} de 345 et 195.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
38
Utiliser l'algorithme d'Euclide pour déterminer le \text{PGCD} de chacun des couples suivants. 1. 246 et 189.
2. 365 et -12.
3. 21\,312 et 840.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
39
Soit n un entier naturel non nul.
1. Démontrer que le reste de la division euclidienne de 21n + 4 par 16n + 3 est égal à 5n + 1.
2. a. Effectuer la division euclidienne de 16n + 3 par 5n + 1.
b. En déduire que \operatorname{PGCD}(21 n+4 \:; 16 n+3)=1.
3. En suivant le même raisonnement, déterminer le \text{PGCD} de 18n + 7 et 2n + 1.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
40
Soit n un entier naturel non nul. 1. Utiliser l'algorithme d'Euclide pour déterminer le \text{PGCD} de 19n + 24 et 8n + 10 suivant la parité de n.
2. En déduire que la fraction \frac{19 n+24}{8 n+10} est irréductible si, et seulement si, n est impair.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
41
Déterminer l'ensemble des entiers n tels que \operatorname{PGCD}(n \:; 342)=19 \text { et } 0 \leqslant n \leqslant 342.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
42
Déterminer l'ensemble des entiers m tels que \operatorname{PGCD}(m+200 \:; 196)=4 et -20 \leqslant m \leqslant 20.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Théorème de Bézout
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
43
1. Démontrer que les nombres 24 et 13 sont premiers entre eux.
2. Déterminer alors deux entiers relatifs u et v tels que 24u + 13v = 1.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
44
Dans chacun des cas suivants, justifier l'existence d'un couple (u \:; v) d'entiers vérifiant l'équation donnée puis en déterminer un. 1. 31 u+70 v=1
2. 25 u+72 v=1
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
45
Soit n \in \mathbb{N}. Montrer à l'aide du théorème de Bézout que 5 n-7 et 2n - 3 sont premiers entre eux.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
46
Montrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, 9n + 11 et 5n + 6 sont premiers entre eux.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
47
Démontrer que, pour tout entier naturel n, 8n + 3 et 6n + 2 sont premiers entre eux.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Équations diophantiennes
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
48
À l'aide de la remontée de l'algorithme d'Euclide, déterminer un inverse de 134 modulo 57. Autrement dit, déterminer un entier a tel que 134 a \equiv 1[57].
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
49
Pour chacun des nombres suivants, déterminer s'il est inversible modulo 33 et, le cas échéant, en donner un inverse : a = 3, b = 8, c = 44, d = 10 et e = 5.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
50
Déterminer, si elle existe, une solution particulière des équations diophantiennes suivantes. 1. 336 u+445 v=1
2. 426 u-68 v=2
3. 301 u+24 v=3
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Théorème de Gauss
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
51
À l'aide du théorème de Gauss, déterminer l'ensemble des couples d'entiers (u\:; v) tels que 38u - 65v = 0.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
52
À l'aide du théorème de Gauss, déterminer l'ensemble des couples (x\:; y) \in \mathbb{Z}^{2} tels que :

1. 76 x=112 y
2. 12(x+3)=5(y-4)
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
53
Lister l'ensemble des couples d'entiers naturels (x\:; y) tels que \left\{\begin{array}{l}7 x=19 y \\ x \leqslant 100\end{array}\right..
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
54
Déterminer l'ensemble des entiers x tels que :

1. 8 x \equiv 0[55]
2. 6 x \equiv 12[35]
3. 54 x \equiv 0[62]
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
55
Soit n \in \mathbb{N}. Montrer, à l'aide du théorème de Gauss, les affirmations suivantes. 1. 3 n \equiv 0[4] \Leftrightarrow n \equiv 0[4]
2. Si (n+1) | 5 n, alors n = 0 ou n = 4.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
56
1. Montrer que si un entier a vérifie \left\{\begin{array}{l}a \equiv 0[45] \\ a \equiv 0[8]\end{array}\right., alors a \equiv 0[360].
2. Montrer que si un entier b vérifie \left\{\begin{array}{l}b \equiv 0[15] \\ b \equiv 0[9]\end{array}\right., alors on n'a pas nécessairement b \equiv 0[135].
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
57
Soit n \in \mathbb{N} tel que \left\{\begin{array}{l}n \equiv 6[22] \\ n \equiv 6[40]\end{array}\right.. 1. Montrer qu'il existe deux entiers relatifs (k\:; \ell) tels que 22 k=40 \ell.
2. En déduire l'ensemble des valeurs possibles de n.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
58
Montrer que si un entier a vérifie \left\{\begin{array}{l}a \equiv 0[22] \\ a \equiv 0[20]\end{array}\right., alors a \equiv 0[220].
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
59
1. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation diophantienne \left(\mathrm{E}_{0}\right): 11 \mathrm{X}=15 \mathrm{Y}.
2. Déterminer une solution particulière \left(x_{0}\:; y_{0}\right) de l'équation (\mathrm{E}): 11 x-15 y=3.
3. Montrer que (x\:; y) est solution de (\mathrm{E}) si, et seulement si, \left(x-x_{0} ; y-y_{0}\right) est solution de \left(\mathrm{E}_{0}\right).
4. En déduire dans \mathbb{Z}^{2} l'ensemble des solutions de l'équation 11 x-15 y=3.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
60
Soit n un entier naturel. 1. Justifier que, parmi les nombres n, n + 1 et n + 2, l'un est divisible par 3 et au moins un est divisible par 2.
2. En déduire que n(n+1)(n+2) est divisible par 6.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
61
Montrer à l'aide du théorème de Gauss les affirmations suivantes (on pourra s'aider de tableaux de congruence). 1. Pour tout n \in \mathbb{N}, 120 divise n\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-4\right).
2. Pour tout n \in \mathbb{N}, 6 divise n(2 n+1)(n+1).
Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais

Yolène
Émilie
Jean-Paul
Fatima
Sarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.