22

On veut découper une planche rectangulaire de 204 cm par 138 cm en carrés de même taille et sans perte.
Donner toutes les dimensions possibles de ces carrés.

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23

Pour chacune des équations diophantiennes suivantes, déterminer en justifiant si elles admettent ou non un couple d'entiers (x\:; y) solution. 1. 51 x+39 y=2020.

2. 51 x+39 y=2019

3. 23 x+42 y=2021

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24

On dispose de 78 clés USB et de 120 stylos à partir desquels on souhaite constituer des lots identiques sans qu'il ne reste d'objet. 1. Quel est le plus grand nombre de lots réalisables ?

2. De combien de clés USB et de combien de stylos ces lots sont‑ils constitués ?

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25

Pour chacune des équations diophantiennes suivantes, déterminer sans calculatrice un couple d'entiers solution. 1. 15 x-4 y=1

2. 21 x+6 y=3

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26

Déterminer l'ensemble des couples d'entiers (x\:; y) vérifiant les équations suivantes. 1. 12 x+5 y=0

2. 51 x+18 y=0

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27

On possède un nombre d'objets inférieur à 500. Si on les range par 10 ou par 9, il en reste toujours 3. Combien peut‑on avoir d'objets ?

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\mathbf{PGCD}

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28

Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que \operatorname{PGCD}(72\:; n)=6 et n \leqslant 72.

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29

Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que \operatorname{PGCD}(180 \:; n)=12 et n \leqslant 180.

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30

Par soustractions successives, montrer que :

1. \operatorname{PGCD}(123 \:; 76)=1.

2. \operatorname{PGCD}(98 \:; 38)=2.

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31

Écrire la division euclidienne de 1~420 par 24 et en déduire le \text{PGCD} de 1~420 et 24.

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32

Justifier que, pour tout n \in \mathbb{N}, le \text{PGCD} de 26n + 7 et n est 7 si n est un multiple de 7 et 1 si n n'est pas un multiple de 7.

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33

Déterminer l'ensemble des couples (x \:; y) \in \mathbb{N}^{2} tels que xy = 6348 et \operatorname{PGCD}(x\:; y)=23.

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34

Déterminer l'ensemble des couples (m\:; n) \in \mathbb{N}^{2} tels que :

1. mn = 5400 et \operatorname{PGCD}(m\:; n)=15.

2. m^{2}-n^{2}=1620 et \operatorname{PGCD}(m\:; n)=6.

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35

Déterminer l'ensemble des couples (a\:; b) \in \mathbb{N}^{2} tels que a + b = 72 et \operatorname{PGCD}(a \:; b)=9.

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36

Démontrer les propositions suivantes. 1. Tout entier est premier avec son successeur.

2. Tout entier impair est premier avec l'entier impair suivant.

3. Pour tout couple d'entiers pairs successifs, leur \text{PGCD} est égal à 2.

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Algorithme d'Euclide

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37

À l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer le \text{PGCD} de 345 et 195.

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38

Utiliser l'algorithme d'Euclide pour déterminer le \text{PGCD} de chacun des couples suivants. 1. 246 et 189.

2. 365 et -12.

3. 21\,312 et 840.

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39

Soit n un entier naturel non nul.

1. Démontrer que le reste de la division euclidienne de 21n + 4 par 16n + 3 est égal à 5n + 1.

2. a. Effectuer la division euclidienne de 16n + 3 par 5n + 1.

b. En déduire que \operatorname{PGCD}(21 n+4 \:; 16 n+3)=1.

3. En suivant le même raisonnement, déterminer le \text{PGCD} de 18n + 7 et 2n + 1.

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40

Soit n un entier naturel non nul. 1. Utiliser l'algorithme d'Euclide pour déterminer le \text{PGCD} de 19n + 24 et 8n + 10 suivant la parité de n.

2. En déduire que la fraction \frac{19 n+24}{8 n+10} est irréductible si, et seulement si, n est impair.

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41

Déterminer l'ensemble des entiers n tels que \operatorname{PGCD}(n \:; 342)=19 \text { et } 0 \leqslant n \leqslant 342.

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42

Déterminer l'ensemble des entiers m tels que \operatorname{PGCD}(m+200 \:; 196)=4 et -20 \leqslant m \leqslant 20.

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Théorème de Bézout

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43

1. Démontrer que les nombres 24 et 13 sont premiers entre eux.

2. Déterminer alors deux entiers relatifs u et v tels que 24u + 13v = 1.

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44

Dans chacun des cas suivants, justifier l'existence d'un couple (u \:; v) d'entiers vérifiant l'équation donnée puis en déterminer un. 1. 31 u+70 v=1

2. 25 u+72 v=1

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45

Soit n \in \mathbb{N}. Montrer à l'aide du théorème de Bézout que 5 n-7 et 2n - 3 sont premiers entre eux.

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46

Montrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, 9n + 11 et 5n + 6 sont premiers entre eux.

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47

Démontrer que, pour tout entier naturel n, 8n + 3 et 6n + 2 sont premiers entre eux.

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Équations diophantiennes

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48

À l'aide de la remontée de l'algorithme d'Euclide, déterminer un inverse de 134 modulo 57. Autrement dit, déterminer un entier a tel que 134 a \equiv 1[57].

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49

Pour chacun des nombres suivants, déterminer s'il est inversible modulo 33 et, le cas échéant, en donner un inverse : a = 3, b = 8, c = 44, d = 10 et e = 5.

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50

Déterminer, si elle existe, une solution particulière des équations diophantiennes suivantes. 1. 336 u+445 v=1

2. 426 u-68 v=2

3. 301 u+24 v=3

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Théorème de Gauss

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51

À l'aide du théorème de Gauss, déterminer l'ensemble des couples d'entiers (u\:; v) tels que 38u - 65v = 0.

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52

À l'aide du théorème de Gauss, déterminer l'ensemble des couples (x\:; y) \in \mathbb{Z}^{2} tels que :

1. 76 x=112 y

2. 12(x+3)=5(y-4)

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53

Lister l'ensemble des couples d'entiers naturels (x\:; y) tels que \left\{\begin{array}{l}7 x=19 y \\ x \leqslant 100\end{array}\right..

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54

Déterminer l'ensemble des entiers x tels que :

1. 8 x \equiv 0[55]

2. 6 x \equiv 12[35]

3. 54 x \equiv 0[62]

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55

Soit n \in \mathbb{N}. Montrer, à l'aide du théorème de Gauss, les affirmations suivantes. 1. 3 n \equiv 0[4] \Leftrightarrow n \equiv 0[4]

2. Si (n+1) | 5 n, alors n = 0 ou n = 4.

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56

1. Montrer que si un entier a vérifie \left\{\begin{array}{l}a \equiv 0[45] \\ a \equiv 0[8]\end{array}\right., alors a \equiv 0[360].

2. Montrer que si un entier b vérifie \left\{\begin{array}{l}b \equiv 0[15] \\ b \equiv 0[9]\end{array}\right., alors on n'a pas nécessairement b \equiv 0[135].

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57

Soit n \in \mathbb{N} tel que \left\{\begin{array}{l}n \equiv 6[22] \\ n \equiv 6[40]\end{array}\right.. 1. Montrer qu'il existe deux entiers relatifs (k\:; \ell) tels que 22 k=40 \ell.

2. En déduire l'ensemble des valeurs possibles de n.

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58

Montrer que si un entier a vérifie \left\{\begin{array}{l}a \equiv 0[22] \\ a \equiv 0[20]\end{array}\right., alors a \equiv 0[220].

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1. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation diophantienne \left(\mathrm{E}_{0}\right): 11 \mathrm{X}=15 \mathrm{Y}.

2. Déterminer une solution particulière \left(x_{0}\:; y_{0}\right) de l'équation (\mathrm{E}): 11 x-15 y=3.

3. Montrer que (x\:; y) est solution de (\mathrm{E}) si, et seulement si, \left(x-x_{0} ; y-y_{0}\right) est solution de \left(\mathrm{E}_{0}\right).

4. En déduire dans \mathbb{Z}^{2} l'ensemble des solutions de l'équation 11 x-15 y=3.

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60

Soit n un entier naturel. 1. Justifier que, parmi les nombres n, n + 1 et n + 2, l'un est divisible par 3 et au moins un est divisible par 2.

2. En déduire que n(n+1)(n+2) est divisible par 6.

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61

Montrer à l'aide du théorème de Gauss les affirmations suivantes (on pourra s'aider de tableaux de congruence). 1. Pour tout n \in \mathbb{N}, 120 divise n\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-4\right).

2. Pour tout n \in \mathbb{N}, 6 divise n(2 n+1)(n+1).

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