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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 4
Entraînement 1
\text{PGCD}
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62
Flash
Déterminer l'ensemble des diviseurs communs à 6\:102 et 2\:028.
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63
Flash
On définit, pour tout entier n \geqslant 1, la suite (u_n) par u_n = \frac{1}{n} \times \text{PGCD} (24 \;; n ).
La suite (u_n) est‑elle convergente ?
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64
Flash
Montrer que, pour tout entier naturel n, \text{PGCD}(3n + 4 ; 4n + 3) = 7 \Leftrightarrow n \equiv 1[7].
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65
[Calculer.]
Soit n un entier naturel non nul. Quand on divise 364 par n, le reste vaut 12 et quand on divise 140 par n, le reste vaut 2. Quelles sont les valeurs possibles de n ?
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66
Tableur
[Modéliser.]
Soit n un entier naturel non nul. On souhaite partager un groupe de 654 femmes et 491 hommes en n équipes mixtes.
En répartissant les femmes, il en reste 24 sans équipe.
En répartissant les hommes, il en reste 11 sans équipe.
On souhaite déterminer le nombre n d'équipes qui ont été faites à l'aide d'un tableur.
En répartissant les femmes, il en reste 24 sans équipe.
En répartissant les hommes, il en reste 11 sans équipe.
On souhaite déterminer le nombre n d'équipes qui ont été faites à l'aide d'un tableur.
1. Justifier que n \geqslant 25.
2. Entrer dans la colonne A les entiers de 25 à 100, en B1 une formule permettant d'obtenir le nombre de femmes sans équipe pour chaque valeur de n et en C1 une formule permettant d'obtenir le nombre d'hommes sans équipe pour chaque valeur de n.
3. Entrer en D1 une formule qui renvoie 1 si les valeurs en B1 et C1 sont respectivement égales à 24 et 11 et qui renvoie 0 sinon.
2. Entrer dans la colonne A les entiers de 25 à 100, en B1 une formule permettant d'obtenir le nombre de femmes sans équipe pour chaque valeur de n et en C1 une formule permettant d'obtenir le nombre d'hommes sans équipe pour chaque valeur de n.
3. Entrer en D1 une formule qui renvoie 1 si les valeurs en B1 et C1 sont respectivement égales à 24 et 11 et qui renvoie 0 sinon.
4. Déterminer alors le nombre d'équipes.
5. Quel \text{PGCD} doit-on déterminer pour vérifier ce résultat ?
5. Quel \text{PGCD} doit-on déterminer pour vérifier ce résultat ?
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67
Démo
[Raisonner.]
Soient a et b deux entiers naturels non simultanément nuls. On note d le \text{PGCD} de a et b.
1. Justifier que d ne peut pas être négatif ou nul. En déduire alors la valeur minimale de d.
2. Démontrer que d = a lorsque b = 0 et d = 1 lorsque b = 1.
3. a. On suppose que a | b. Déterminer alors la valeur de d.
2. Démontrer que d = a lorsque b = 0 et d = 1 lorsque b = 1.
3. a. On suppose que a | b. Déterminer alors la valeur de d.
b. On suppose maintenant que d = a. Quelle relation existe-t-il entre a et b ? Quelle équivalence a-t-on démontrée ?
4. Démontrer que si a \geqslant b, alors d = \text{PGCD}(a - b \;; b).
4. Démontrer que si a \geqslant b, alors d = \text{PGCD}(a - b \;; b).
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68
[Communiquer.] Soient n un entier naturel, \alpha = 2n + 1 et \beta = n + 3. 1. Montrer que \text{PGCD}(\alpha \;; \beta) divise 5.
2. Montrer que si n \equiv 2 [5], alors 5 est un diviseur commun à \alpha et \beta.
3. En déduire que \text{PGCD}(\alpha \;; \beta) = 5 si, et seulement si, n \equiv 2 [5].
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69
[Raisonner.]
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
Montrer que le \text{PGCD} de n^2 - 1 et 3(n + 1) vaut 3(n + 1) si n \equiv 1 [3] et n + 1 sinon.
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70
Tableur
[Modéliser.]
Soit n \in \mathbb{N}. 1. À l'aide d'une feuille de calcul, conjecturer l'expression du \text{PGCD} de n^2 + 3n + 2 et n + 1 en fonction de n.
2. À l'aide d'une feuille de calcul, conjecturer l'expression du \text{PGCD} de n^2 + 3n + 2 et 2(n + 1) en fonction de n.
3. Démontrer ces résultats.
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71
[Raisonner.] 1. Démontrer que, pour tout n \in \N :
\text{PGCD}(n \:; n + 4) = 4 \Leftrightarrow n \equiv 0 [4].
2. Peut-on en déduire que, pour tout n \in \N, la fraction \dfrac{n}{n + 4} peut être simplifiée si, et seulement si, n \equiv 0 \; [4] ? Justifier.
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72
[Raisonner.] Soit n un entier naturel non nul.
Montrer que \text{PGCD}(2n + 1 \:; n + 5) = \text{PGCD}(9 \:; n + 5).
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73
[Calculer.]
1. Conjecturer à l'aide des tables de valeurs des suites (n - 1)_{n \geqslant 2} et (n^2 - 3n + 5)_{n \geqslant 2} les valeurs de n pour lesquelles la fraction \dfrac{n^2 - 3n + 5}{n-1} est réductible.
2. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 1, \text{PGCD}(n - 1 \:; n^2 - 3n + 5) = \text{PGCD}(n - 1 \:; 3) et valider ou réfuter la conjecture émise précédemment.
2. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 1, \text{PGCD}(n - 1 \:; n^2 - 3n + 5) = \text{PGCD}(n - 1 \:; 3) et valider ou réfuter la conjecture émise précédemment.
3. Conjecturer les valeurs de n pour lesquelles \dfrac{n^2 - 3n + 5}{n -1} est un nombre entier.
4. Démontrer ce résultat.
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ALGO
[Calculer.]
On considère l'algorithme suivant où a et b sont des entiers naturels donnés par l'utilisateur.
\boxed{
\begin{array} { l }
\text { Tant que a} \neq \text {b faire : } \\
\quad \quad a \;, b \leftarrow \text{min} (b - a \;; a), \text{max}(b - a \;; a) \\
\text{ Afficher } a \\
\end{array}
}
Remarque
La double affectation permet de calculer a et b simultanément ; la valeur utilisée pour calculer max(b-a ; a) est l'ancienne valeur de a et non min(b-a ; a).
1. Appliquer cet algorithme à la main en prenant pour valeurs initiales a = 56 et b = 96.
2. Que représente le résultat affiché en sortie ?
2. Que représente le résultat affiché en sortie ?
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75
Démo
[Raisonner.]
Soient a, b et k trois entiers naturels non nuls. On veut démontrer que \text{PGCD}(ka \;; kb) = k \times \text{PGCD}(a \;; b). 1. Écrire la division euclidienne de a par b (en appelant q le quotient et r le reste) puis écrire la division euclidienne de ka par kb.
2. En utilisant l'algorithme d'Euclide et la suite des restes des divisions euclidiennes successives, démontrer alors que \text{PGCD} (ka \;; kb) = k \times \text{PGCD} (a \;; b).
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76
En physique
[Calculer.] 
Un son complexe est composé d'une harmonique A de fréquence 440 hertz, d'une harmonique B de fréquence 520 hertz et d'une harmonique C de fréquence 780 hertz. On admet que la fréquence de ce son est égale au \text{PGCD} des fréquences des harmoniques.
Quelle est la fréquence de ce son complexe ?
Quelle est la fréquence de ce son complexe ?
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77
Python
[Calculer.]
1. Programmer en Python un algorithme qui prend en argument deux entiers naturels et qui calcule leur \text{PGCD} en utilisant l'algorithme d'Euclide.
2. Tester cet algorithme pour les couples suivants : (45 \:; 9), (9 \:; 45) et (60 \:; 12).
Donne‑t‑il le même résultat quand le couple (a \:; b) donné vérifie a < b ou a > b ?
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Vrai / Faux
[Raisonner.]
Déterminer, en justifiant, si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. 1. 2^{445} \equiv 2[15].
2. \text{PGCD}(2^{445} + 4 \;; 15) = 3.
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79
[Calculer.] Soit n un entier supérieur ou égal à 2. 1. Factoriser n^2 + 2n - 3 et n^2 + 4n + 3.
2. Déterminer le \text{PGCD} de n + 1 et n - 1 selon la parité de n.
3. En déduire, en fonction de n, une expression de \text{PGCD}(n^2 + 2n - 3 \;; n^2 + 4n + 3).
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80
Tableur
[Modéliser.]
On souhaite découper une surface rectangulaire en carrés de mêmes dimensions.
On cherche la taille maximale du côté des carrés.
On commence par construire un carré dont le côté est égal à la largeur du rectangle.
Dans le rectangle qui reste, on construit encore un carré dont le côté est égal à la nouvelle largeur et ainsi de suite jusqu'à ce que le rectangle restant soit un carré. Le rectangle total sera alors découpable en carrés de ces dernières dimensions. 1. Ouvrir une feuille de calcul. Entrer les dimensions initiales 6\:102 et 2\:028 en A1 et B1.
Quelles formules faut-il entrer en A2 et B2 pour obtenir les longueurs successives des rectangles obtenus dans la colonne A et leurs largeurs dans la colonne B ?
2. Étirer ces formules vers le bas afin de compléter les colonnes A et B. Quand peut-on s'arrêter ? Quelle est la dimension des carrés permettant de partager ce rectangle ?
3. Afin de réduire le nombre de lignes dans le tableur, on entre respectivement en A2 et en B2 les formules =MAX(B1 ; MOD(A1 ; B1)) et =MIN(B1 ; MOD(A1 ; B1)).
Que calculent ces formules ? En combien d'étapes retrouve-t-on le résultat cherché ?
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81
Python
[Modéliser.]
Dans son testament, un homme partage son terrain rectangulaire de longueur et de largeur entières de la manière suivante. Il donne à son premier héritier une parcelle carrée de dimensions entières la plus grande possible. Il donne au 2e la parcelle carrée la plus grande possible dans le reste du champ, au 3e la parcelle carrée la plus grande possible dans ce qu'il reste, et ainsi de suite jusqu'à ce que la totalité du champ soit attribuée.
1. Justifier que sa méthode de partage se termine effectivement quelles que soient les dimensions initiales du champ.
2. Compléter le programme suivant afin qu'il calcule et affiche la longueur du côté de chaque parcelle et le nombre de parcelles de chaque taille.
3. Si le terrain initial mesure 96 m de longueur et 56 m de largeur, quel est le nombre d'héritiers ?
2. Compléter le programme suivant afin qu'il calcule et affiche la longueur du côté de chaque parcelle et le nombre de parcelles de chaque taille.
Aide
On utilise respectivement les commandes a//b et a % b pour le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.
def parcelle(l, L):
while ... :
print('Côté :', l , 'Nombre :', ...)
l, L = ..., l
3. Si le terrain initial mesure 96 m de longueur et 56 m de largeur, quel est le nombre d'héritiers ?
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