1. Déterminer le \text{PGCD} de deux entiers.
2. Connaître et utiliser les théorèmes de Bézout et de Gauss.

3. Résoudre une congruence a x \equiv b[n], résoudre une équation diophantienne simple.

4. Déterminer l'inverse de a modulo n lorsque a et n sont premiers entre eux.

1. Déterminer les diviseurs d'un entier.
2. Écrire la division euclidienne d'un entier relatif par un entier naturel non nul.
3. Déterminer un reste modulo n.
4. Exécuter des opérations sur des congruences.

1

Déterminer les diviseurs d'un entier

Un entier naturel est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs stricts, c'est-à-dire de tous ses diviseurs positifs sauf lui-même.
Par exemple, 6=1+2+3 donc 6 est parfait. 18 est-il parfait ? Et 28 ?

2

Simplifier une fraction

Déterminer les diviseurs communs à 777 et 441, puis simplifier la fraction \frac{777}{441}.

3

Résoudre une équation diophantienne

Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x\:; y) tels que x^{2}-y^{2}=21.

4

Résoudre un problème de diviseurs

On souhaite répartir 80 hommes et 60 femmes en équipes mixtes de mêmes effectifs et de même répartition hommes/femmes.

Quel est le plus grand nombre d'équipes possible ? Quelle serait la composition des équipes dans ce cas ?

5

Utiliser la définition de la division euclidienne dans \mathbb{N}

Soit n un entier naturel ayant le même quotient dans la division euclidienne par 23 et par 17, et admettant un reste de 1 dans celle par 23.
Quelles sont les valeurs possibles du reste dans la division euclidienne de n par 17 ?

6

Déterminer un entier conditionné par une relation de divisibilité

Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que n - 4 divise n + 17.

7

Écrire une division euclidienne dans \mathbb{Z}

8

Déterminer un inverse modulo un entier

À l'aide d'un tableau de congruence, déterminer les entiers naturels a tels que 4 a \equiv 1[13].

9

Opérer sur les congruences

Soient a et b deux entiers tels que a \equiv 0[4] et b \equiv 0[18].
A-t-on nécessairement a b \equiv 0[72] ?

10

Opérer sur les congruences

La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ?
« Si a est un entier tel que a \equiv 0[27], alors a \equiv 0[9]. »

11

Problème

Comment peut-on mesurer 1 minute avec un sablier de 13 minutes et un sablier de 5 minutes ?

La difficulté mathématique pour établir un calendrier où les dates des équinoxes et solstices restent les mêmes, est que la durée d'une année solaire n'équivaut pas à un nombre entier de jours. Jules César, se fiant aux conseils de l'astronome alexandrin Sosigène, a établi le calendrier julien avec un système d'années bissextiles. Mais ce système, grossièrement correct, induisait un décalage que le pape Grégoire XIII a corrigé en octobre 1582, suivant les recommandations du mathématicien jésuite Christopher Clavius (1538-1612), d'où le nom de calendrier grégorien qui est depuis le nôtre (voir

TP 2

).
Mais d'autres pays, comme la Grèce, n'ont adopté ce calendrier qu'au XX^e siècle. À cause des années bissextiles comptées en trop, ils ont alors dû supprimer treize jours !