Dans le calendrier julien, les années sont divisées en 365 jours et on ajoute un jour tous les quatre ans (années bissextiles). Cependant, ce calendrier entraîne un décalage non négligeable avec le comportement des astres sur plusieurs siècles.

Questions préliminaires :
On estime qu'une année est composée de 365,2422 jours. On pose \text{A} = 365 + \dfrac{2~422}{10~000}.
Le choix optimal serait donc de rajouter 2~422 jours sur chaque période de 10~000 ans.
Pour obtenir une méthode plus pratique, on écrit le développement en fractions continues de \text{A} : on pose \text{q}_0 = 365, \text{r}_0 = 10~000 et \text{r}_1 = 2~422 et on définit, par divisions euclidiennes successives, les suites d'entiers (q_n) et (r_n) telles que, pour tout n \geqslant 1, r_{n-1} = r_n \times q_n + r_{n+1} et 0 \leqslant r_{n+1} < r_n.
Pour finir, on définit la suite (\text{A}_n), pour tout entier naturel n, par \text{A}_0 = q_0 + \dfrac{1}{q_1}, \text{A}_1 = q_0 + \dfrac{1}{q_1 + \dfrac{1}{q_2}} , etc.
Les termes \text{A}_n sont appelés développement en fractions continues.

1. a. Vérifier que q_1 = 4 et r_2 = 312 et en déduire la valeur de \text{A}_0.

b. Déterminer q_2 et en déduire une valeur approchée de \text{A}_1 à 10^{-2} près.

2. a. Justifier alors le choix du calendrier julien.

b. Quelle est l'erreur commise chaque année avec cette méthode ? Chaque siècle ?

c. Les années multiples de 4 sont‑elles toutes bissextiles ? Comment justifier ce choix ?