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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 4
TP / TICE 1
Chiffrement affine
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Énoncé
On a reçu un message codé à l'aide du chiffrement affine défini de la manière suivante : à chaque lettre du message est associé un entier x entre 0 et 25 selon l'ordre alphabétique. À chaque entier x, on associe l'entier y tel que \left\{\begin{array}{c}y \equiv 11 x+8[26] \\ 0 \leqslant y \leqslant 25\end{array}\right.. Enfin, on remplace la lettre du message par la lettre associée à y.
On cherche à décoder le message suivant : IZIV JUNSVW.
Questions préliminaires :
1. Justifier que, pour tout x \in \{0 ; ... ; 25\}, l'entier y ainsi défini est le reste de la division euclidienne de 11x + 8 par 26 et que y = 11x + 8 - 26 \times \text{E} \left(\dfrac{11x + 8}{26}\right), où \text{E}( \;\;) désigne la partie entière.
2. Écrire le message reçu sous forme d'une suite d'entiers.
Questions préliminaires :
1. Justifier que, pour tout x \in \{0 ; ... ; 25\}, l'entier y ainsi défini est le reste de la division euclidienne de 11x + 8 par 26 et que y = 11x + 8 - 26 \times \text{E} \left(\dfrac{11x + 8}{26}\right), où \text{E}( \;\;) désigne la partie entière.
2. Écrire le message reçu sous forme d'une suite d'entiers.
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Objectif
Comprendre la construction d'un codage affine et chercher à quelle condition une fonction de décodage existe à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode 1GeoGebra
1. Ouvrir GeoGebra et associer un tableur à côté du graphique. Dans la colonne A du tableur, entrer les entiers x de 0 à 25 et dans la colonne C les valeurs correspondantes de 11x + 8.
GeoGebra
2. Entrer en B1 une formule permettant d'obtenir par recopie vers le bas les valeurs de y associées à chaque entier.
3. Sélectionner les colonnes A et B, puis créer une liste de points. Afficher les noms de ces points dans le graphique et vérifier que le point \text{A} a pour abscisse 0, le point \text{B} pour abscisse 1, \text{C} pour abscisse 2, etc. Il est possible de renommer les points manuellement si nécessaire.
4. Par lecture graphique, décoder le message reçu.
5. Modifier le tableur pour que la fonction de codage soit 10x + 8 au lieu de 11x + 8. Pouvez-vous décoder le message reçu ? Pourquoi ?
6. Tester d'autres valeurs et conjecturer une condition sur la valeur de a pour que le message codé par ax + 8 soit décodable.
Aide
La fonction floor désigne la partie entière.
3. Sélectionner les colonnes A et B, puis créer une liste de points. Afficher les noms de ces points dans le graphique et vérifier que le point \text{A} a pour abscisse 0, le point \text{B} pour abscisse 1, \text{C} pour abscisse 2, etc. Il est possible de renommer les points manuellement si nécessaire.
4. Par lecture graphique, décoder le message reçu.
5. Modifier le tableur pour que la fonction de codage soit 10x + 8 au lieu de 11x + 8. Pouvez-vous décoder le message reçu ? Pourquoi ?
6. Tester d'autres valeurs et conjecturer une condition sur la valeur de a pour que le message codé par ax + 8 soit décodable.
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Méthode 2Python
1.
a. Créer une liste vide chiffrage = [ ].
b. À l'aide d'une boucle bornée, pour chaque valeur de l'entier x allant de 0 à 25, compléter la liste chiffrage avec la valeur de y correspondante déterminée dans la question préliminaire 1..
2. a. Compléter le code de la question pr écédente en y ajoutant le code ci-dessous. La méthode index sert à obtenir l'indice d'un élément d'une liste.
b. Expliquer la ligne 6 puis la boucle for entre les lignes 11 et 14.
3. Que se passe-t-il quand on remplace 11x + 8 par 10x + 8 dans la définition de chiffrage ? Afficher la liste chiffrage et expliquer pourquoi le programme ne peut pas fonctionner.
4. a. Ajouter une ligne de commande permettant d'afficher la liste chiffrage triée et tester plusieurs fonctions.
b. Conjecturer une condition sur a pour que le message codé par ax + 8 soit décodable.
b. À l'aide d'une boucle bornée, pour chaque valeur de l'entier x allant de 0 à 25, compléter la liste chiffrage avec la valeur de y correspondante déterminée dans la question préliminaire 1..
2. a. Compléter le code de la question pr écédente en y ajoutant le code ci-dessous. La méthode index sert à obtenir l'indice d'un élément d'une liste.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
b. Expliquer la ligne 6 puis la boucle for entre les lignes 11 et 14.
3. Que se passe-t-il quand on remplace 11x + 8 par 10x + 8 dans la définition de chiffrage ? Afficher la liste chiffrage et expliquer pourquoi le programme ne peut pas fonctionner.
4. a. Ajouter une ligne de commande permettant d'afficher la liste chiffrage triée et tester plusieurs fonctions.
b. Conjecturer une condition sur a pour que le message codé par ax + 8 soit décodable.
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Déterminer un entier b tel que 11 b \equiv 1[26] et en déduire que x \equiv b(y-8)[26].
Déterminer alors une fonction de décodage.
Déterminer alors une fonction de décodage.
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