Soient trois points \text{A}(1\:; 5) , \text{B}(-3\: ; 2) et \text{C}(2 \:; - 1) dans un repère orthonormé.
1. Déterminer un vecteur directeur de la droite (\text{BC}).
2. Détailler la construction de la parallèle à (\text{BC}) passant par (\text{A}).

1. On calcule les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite.

2. La droite (\text{BC}) et sa parallèle ont les mêmes vecteurs directeurs, il suffit d'en prendre un représentant d'origine \text{A}.

Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l'ensemble des points \text{M}(x \:; y) d'une droite vérifient une relation ax + by + c = 0 , où a, b et c sont des nombres réels.

Si a=0 et b \neq 0 alors y = - \dfrac { c } { b } et la droite est parallèle à l'axe des abscisses. Si b=0 et a \neq 0 alors x = - \dfrac { c } { a } et la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.

Soient \mathrm { P } \left( x _ { \mathrm { P } } \:; y _ { \mathrm {P } } \right) et \mathrm { Q } \left( x _ { \mathrm { Q } } \:; y _ { \mathrm { Q } } \right) deux points de d.
Alors, pour tout point \mathrm { M } ( x \:; y ) appartenant à d :
\overrightarrow { \mathrm { PM } } \left( x - x _ { \mathrm{ P }} \:; y - y _ { \mathrm{ P }} \right) et \overrightarrow { \mathrm { PQ } } \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } }\: ; y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) sont colinéaires.
On a donc \det ( \overrightarrow { \text{PM} }\: ; \overrightarrow { \text{PQ} } ) = 0
c'est-à-dire \left( x - x _ { \mathrm { P } } \right) \left( y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) - \left( y - y _ { \mathrm { P } } \right) \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } \right) = 0.
Donc x \left( y _ { \mathrm{Q} } - y _ { \mathrm { P } } \right) - x _ { \mathrm { P } } \left( y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) - y \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } \right) + y _ { \mathrm { P } } \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } \right) = 0.
Donc \left( y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) x + \left( x _ { \mathrm { P } } - x _ { \mathrm { Q } } \right) y + \left( y _ { \mathrm { P } } x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } y _ { \mathrm { Q } } \right) = 0.
En posant a = y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } }, b = x _ { \mathrm { p } } - x _ { \mathrm { Q } }, et c = x _ { \mathrm{Q} } y _ { \mathrm { P } } - x _ { \mathrm { P } } y _ { \mathrm { Q } } on a donc a x + b y + c = 0.

La relation ax + by + c = 0 s'appelle équation cartésienne de la droite d.

Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite.

Propriété

Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0.

Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer).

1. On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AM}}.

2. On utilise le déterminant xy' - x 'y de ces deux vecteurs. Ce déterminant est nul lorsque les points \text{A}, \text{B} et \text{M} sont alignés.

3. On développe et on réduit l'expression pour obtenir la forme d'une équation cartésienne.