Chapitre 8
TP / TICE
Régionnement du plan et optimisation linéaire
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Énoncé
Une entreprise fabrique deux objets à l'aide de trois machines.
La machine A ne peut travailler que 150 h par mois, la machine B que 210 h par mois et la machine C que 180 h par mois.
Question préliminaire : En appelant x et y le nombre respectif d'objets \text{O}_1 et \text{O}_2 produits, expliquer pourquoi les contraintes de travail de la machine se traduisent chaque mois par :
- Le premier objet \text{O}_1 nécessite 1 h de la machine A, 1 h de la machine B puis il est vendu 300 € l'unité.
- Le deuxième objet \text{O}_2 nécessite 1 h de la machine A, 3 h de la machine B et 3 h de la machine C puis il est vendu 500 € l'unité.
Question préliminaire : En appelant x et y le nombre respectif d'objets \text{O}_1 et \text{O}_2 produits, expliquer pourquoi les contraintes de travail de la machine se traduisent chaque mois par :
- x + y \leq 150
- x + 3y \leq 210
- 3y \leq 180
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Objectif
Déterminer une production optimale avec une des deux méthodes de résolution.
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Méthode 1 Python
On cherche à écrire un programme avec Python permettant de balayer toutes les possibilités.
On considère l'algorithme suivant :
1. À quelles quantités d'objets de chaque type choisit-on de se limiter dans cet algorithme ?
2. Interpréter le contenu des variables \text {gainmax}, \text {xmax} et \text {ymax} à la fin de l'exécution de l'algorithme.
3. Programmer cet algorithme à l'aide de
On considère l'algorithme suivant :
\boxed{
\begin{array} { l } { \text { gainmax } \leftarrow 0 } \\
\text { gain } \leftarrow 0 \\
\text { xmax } \leftarrow 0 \\
\text { ymax } \leftarrow 0 \\
\text{ Pour } x \text { allant de } 0 \text { à } 200 : \\
\quad \text { Pour y allant de } 0 \text { à } 200 : \\
\qquad \text { Si } x + y \leq 150 \text { et } \ldots \text { et } \ldots : \\
\qquad \quad \text { gain } \leftarrow \ldots \\
\qquad \text { Fin Si} \\
\qquad \text { Si gain } \gt \text{gainmax} : \\
\qquad \quad \text {gainmax} \leftarrow \text {gain} \\
\qquad \quad \text {xmax} \leftarrow \text {x} \\
\qquad \quad \text {ymax} \leftarrow \text {y} \\
\qquad \text {Fin Si} \\
\quad \text {Fin Pour} \\
\text {Fin Pour}
\end{array}
}
1. À quelles quantités d'objets de chaque type choisit-on de se limiter dans cet algorithme ?
2. Interpréter le contenu des variables \text {gainmax}, \text {xmax} et \text {ymax} à la fin de l'exécution de l'algorithme.
3. Programmer cet algorithme à l'aide de
Python
et déterminer alors les valeurs finales des variables. Interpréter le résultat.Ressource affichée de l'autre côté.
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Méthode 2 GeoGebra
Dans , représenter chacune des régions du plan telles que :
Par exemple, pour la première inéquation, écrire :
Il faut cliquer sur le rond apparaissant sous le numéro 1 pour que la région du plan correspondant soit représentée.
1. Commenter le graphique obtenu.
2. a. Montrer que pour un gain g en euro, on a 300x + 500y = g .
b. Créer un curseur g (allant de 0 à 60 000, avec un pas de 1 000), puis construire la droite d'équation 300x + 500y = g . Proposer trois productions permettant un gain de 40 000 €.
3. Quel est le gain maximal que l'on puisse faire ? À quelle production d'objets \text{O}_1 et \text{O}_2 cela correspond-il ? Justifier.
- x + y \gt 150
- x + 3y \gt 210
- 3y \gt 180
1 Résoudre (\lt Équation en x \gt)
Par exemple, pour la première inéquation, écrire :
1 Résoudre ( x + y \gt 150)
Il faut cliquer sur le rond apparaissant sous le numéro 1 pour que la région du plan correspondant soit représentée.
1. Commenter le graphique obtenu.
2. a. Montrer que pour un gain g en euro, on a 300x + 500y = g .
b. Créer un curseur g (allant de 0 à 60 000, avec un pas de 1 000), puis construire la droite d'équation 300x + 500y = g . Proposer trois productions permettant un gain de 40 000 €.
3. Quel est le gain maximal que l'on puisse faire ? À quelle production d'objets \text{O}_1 et \text{O}_2 cela correspond-il ? Justifier.
GeoGebra
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