Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Le but de cet exercice est de mettre en évidence une propriété remarquable des triangles.

Dans un repère orthonormé ( \mathrm { \Omega }\: ; \vec { i } , \vec { j } ) d'unité 2 cm, on considère les points \text{A} ( - 1\:; 4 ), \text{B} ( 3\: ; - 4 ) et \mathrm { C } ( - 2\: ; 1 ).

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Partie 1

Définitions : La médiatrice d'un segment coupe ce segment perpendiculairement en son milieu. Le point de concours des trois médiatrices dans un triangle est le centre du cercle circonscrit de ce triangle.
Les médiatrices des côtés [ \mathrm { AC } ] et [ \mathrm { BC } ] ont pour équations respectives x + 3y - 6 = 0 et x - y - 2 = 0 .

1. Tracer les deux médiatrices.

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2. Déterminer par le calcul leur point d'intersection, noté \mathrm { O }.

3. Que représente le point \mathrm { O } pour le triangle \mathrm { ABC } ?

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Partie 2

Définitions : Dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et est perpendiculaire au côté opposé (elle peut être extérieure au triangle). Le point de concours des hauteurs est l'orthocentre.
\text{P} ( - 3 \:; 2 ) et \text{R} ( - 3\: ; - 2 ) sont les pieds des hauteurs issues de \text{A} et \text{B}.

1. Tracer les hauteurs du triangle.

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2. Pour les hauteurs (\text{AP}) et (\text{BR}) :
a. lire graphiquement les coordonnées d'un vecteur directeur ;

b. déterminer une équation.

3. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection \text{H} de (\text{AP}) et (\text{BR}).

4. Vérifier graphiquement que (\text{HC}) est perpendiculaire à (\text{AB}).
5. Que représente le point \text{H} pour le triangle \text{ABC} ?

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Partie 3

Définitions : Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé. Le point de concours des médianes est le centre de gravité.

1. Tracer les médianes issues de \text{A} et de \text{B} et déterminer une équation de chacune de ces deux droites.

2. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection \text{G}.

3. Que représente le point \text{G} pour le triangle \text{ABC} \:?

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Mise en commun

1. Dans un repère orthonormé, placer les points \text{G}, \text{M} et \text{O} trouvés par chaque groupe. Que constate-t-on ?

2. Déterminer une équation de la droite (\text{OH}).

3. Vérifier par le calcul que \text{G} appartient à la droite (\text{OH}). On appelle cette droite la droite d'Euler.

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Histoire des maths

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Le mathématicien suisse Leonhard Euler n'est pas celui qui a découvert la droite d'Euler. Cependant, il est le premier à publier une démonstration algébrique de l'alignement dans un triangle du centre de gravité, de l'orthocentre et du centre du cercle circonscrit.

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Pour aller plus loin

Que devient la droite d'Euler lorsque le triangle est isocèle ? et équilatéral ?

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